有理数为什么仍然不够？¶

先备知识¶

本单元只假定你会进行整数与有理数的四则运算，会把有理数写成最简分数，并会使用平方与因式分解。特别地，若一个整数是偶数，就可写成 \(2k\)；若 \(a/b\) 是最简分数，则 \(a,b\) 没有公因子大于 \(1\)。解析几何和 Python 都没有前置要求。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

用最简分数与奇偶性证明 \(\sqrt2\notin\mathbb Q\)；
解释“方程在有理数中无解”为什么暴露了有理数系的缺口；
区分严格证明、数值近似与把数系扩张为实数这三件不同的事。

牵引问题¶

能否找到一个有理数 \(q\)，使得

\[ q^2=2 \]

？

\(1^2<2<2^2\)，所以这不是“目标太大或太小”的问题。你还可以写出很多有理数，使它们的平方很靠近 \(2\)：例如 \((7/5)^2<2<(10/7)^2\)。但“可以无限靠近”并不等于“某一次已经等于”。如果没有这样的有理数，那么有理数轴在这两个集合的边界处究竟缺少了什么？

探索与猜想¶

为了观察正平方根的边界，定义下列两组有理数：

\[ D=\{q\in\mathbb Q:q<0\text{ 或 }q^2<2\}, \qquad U=\{q\in\mathbb Q:q>0\text{ 且 }q^2>2\}. \]

\(D\) 特意包含了所有负有理数；这保证它是“边界左侧”的下闭集合，而不是只按平方大小机械分类。\(D\) 中有 \(0,1,7/5\)，而 \(U\) 中有 \(2,3/2,10/7\)。并且只要 \(d\in D\)、\(u\in U\)，就有 \(d<u\)：若 \(d<0\)，这由 \(u>0\) 立即得到；若 \(d\ge0\)，则 \(d^2<2<u^2\)，而非负数的平方保持大小关系，故仍有 \(d<u\)。若存在 \(q\in\mathbb Q\) 满足 \(q^2=2\)，它会恰好处在这两侧之间；接下来的证明说明这种有理数不存在。

这并不意味着 \(D\) 与 \(U\) 之间“什么也没有”。它意味着：在仅允许有理数作坐标的数轴上，没有一个坐标能够充当这条边界。下一单元将把这样的边界本身做成一个新的数。

概念与理论¶

有理数中的无解¶

一个陈述“方程 \(x^2=2\) 在 \(\mathbb Q\) 中无解”的精确含义是

\[ (\forall q\in\mathbb Q)\ q^2\ne2. \]

它只排除了有理数解；它并没有说方程在更大的数系中无解。以后我们会用符号 \(\sqrt2\) 表示平方为 \(2\) 的正实数。当前的任务是先证明：这个对象不能已经藏在 \(\mathbb Q\) 里。

最简分数与奇偶性¶

任何非零有理数都能写为 \(a/b\)，其中 \(a,b\in\mathbb Z\)、\(b\ne0\)，并且分子分母没有公因子大于 \(1\)。这称为最简分数。证明无理性时，把一个假设中的有理数写成最简分数，往往能把等式转化为整数的整除性质。

本单元只需一个简单事实：若 \(n^2\) 是偶数，则 \(n\) 是偶数。实际上，若 \(n\) 是奇数，可写成 \(n=2k+1\)，于是

\[ n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 \]

也是奇数；取逆否命题就得到该事实。

缺口不是近似误差¶

小数 \(1.414\)、\(1.4142\) 等只是有理数；它们平方接近 \(2\)，却不能证明某个有理数的平方正好是 \(2\)。计算更多位小数只能产生更精细的近似，不能代替“对所有有理数均不相等”的证明。

另一方面，\(D\) 的确没有最大的有理数。若 \(q<0\) 属于 \(D\)，则 \(q<q/2<0\)，故 \(q/2\in D\)。若 \(0\le q\) 且 \(q^2<2\)，令

\[ q'=\frac{2q+2}{q+2}. \]

直接计算可得 \(q'-q=(2-q^2)/(q+2)>0\)，且

\[ 2-(q')^2=\frac{2(2-q^2)}{(q+2)^2}>0. \]

因此 \(q<q'\in D\)。这条“永远还可向右走一点”的边界，正是下一单元 Dedekind 分割要严肃处理的对象。

例题与迁移¶

例：\(\sqrt2\) 不是有理数¶

证明不存在有理数 \(q\) 满足 \(q^2=2\)。

证明。 反设存在 \(q\in\mathbb Q\) 使 \(q^2=2\)。取 \(q=a/b\) 为最简分数，其中 \(a,b\in\mathbb Z\)、\(b\ne0\)。由

\[ \left(\frac ab\right)^2=2 \]

得到 \(a^2=2b^2\)。于是 \(a^2\) 是偶数，所以 \(a\) 是偶数。写 \(a=2k\)，代回得

\[ 4k^2=2b^2, \qquad\text{即}\qquad b^2=2k^2. \]

故 \(b^2\) 是偶数，进而 \(b\) 也是偶数。于是 \(a,b\) 都被 \(2\) 整除，这与 \(a/b\) 是最简分数矛盾。因此不存在这样的有理数；换言之，\(\sqrt2\notin\mathbb Q\)。\(\square\)

迁移：无理性证明的结构¶

这个证明没有使用 \(\sqrt2\) 的小数展开。它的结构是：假定目标有理 \(\to\) 写成最简分数 \(\to\) 把等式变成整除信息 \(\to\) 分子、分母同时出现公因子 \(\to\) 与最简性矛盾。以后遇到 \(\sqrt p\)（\(p\) 为素数）时，同一结构仍然可用，只需把“偶数”换成“被 \(p\) 整除”。

即时检验与回望¶

为什么“\(1.4142^2\) 很接近 \(2\)”不能证明 \(\sqrt2\) 是有理数？

答案

\(1.4142\) 本身是一个有理数，但“很接近”不是“相等”。要证明 \(\sqrt2\) 有理，必须给出一个有理数 \(q\) 满足 \(q^2=2\)；要证明它无理，则要排除全部有理数。有限位小数只能给近似误差，不能完成其中任一种严格结论。

在例题的反证中，为什么必须先把 \(a/b\) 约成最简分数？

答案

结论 \(a,b\) 都是偶数只有在 \(a/b\) 已被选为最简分数时才构成矛盾。若一开始允许公因子，例如 \(2/4\)，分子分母同为偶数并不奇怪。

\(D\) 没有最大的有理数是否已经证明了 \(D\) 有一个实数上确界？

答案

没有。当前我们只在 \(\mathbb Q\) 中工作；“每个有上界的非空集合都有上确界”正是实数完备性的内容，不能在这里预先使用。这里得到的是构造实数所需的动机。

回看牵引问题：找不到 \(q^2=2\) 的有理数不是计算能力不足，而是有理数系本身不能为这条边界提供元素。下一单元将把这种边界组织成 Dedekind 分割。

习题与答案¶

ex-u-01-02-01-01¶

写出“方程 \(q^2=2\) 在有理数中无解”的带量词表达，并写出它的否定。

答案

原命题是 \((\forall q\in\mathbb Q)\ q^2\ne2\)。它的否定是 \((\exists q\in\mathbb Q)\ q^2=2\)。

ex-u-01-02-01-02¶

证明：若整数 \(n^2\) 是偶数，则 \(n\) 是偶数。

答案

若 \(n\) 为奇数，则 \(n=2k+1\)，从而 \(n^2=2(2k^2+2k)+1\) 为奇数。因此由逆否命题，\(n^2\) 为偶数时 \(n\) 必为偶数。

ex-u-01-02-01-03¶

证明：不存在有理数 \(q\) 满足 \(q^2=2\)。

答案

完整解答。 反设 \(q\in\mathbb Q\) 且 \(q^2=2\)。把 \(q\) 写成最简分数 \(a/b\)，其中 \(a,b\in\mathbb Z\)、\(b\ne0\)，且 \(a,b\) 互素。由 \((a/b)^2=2\) 得 \(a^2=2b^2\)。所以 \(a^2\) 为偶数，依上一题 \(a\) 为偶数，设 \(a=2k\)。于是 \(4k^2=2b^2\)，即 \(b^2=2k^2\)；故 \(b^2\)、从而 \(b\) 也为偶数。这样 \(2\) 同时整除 \(a,b\)，与它们互素矛盾。反设不成立，所以不存在这样的有理数。

ex-u-01-02-01-04¶

设 \(q\in\mathbb Q\) 且 \(0\le q\)、\(q^2<2\)。验证 \(q'=(2q+2)/(q+2)\) 满足 \(q<q'\) 与 \((q')^2<2\)。

答案

因 \(q+2>0\)，有

\[ q'-q=\frac{2-q^2}{q+2}>0. \]

再直接通分得到

\[ 2-(q')^2=\frac{2(2-q^2)}{(q+2)^2}>0. \]

所以 \(q<q'\) 且 \((q')^2<2\)，并且 \(q'\) 仍为有理数。