通量积分怎样依赖参数化与曲面取向？¶

先备知识¶

掌握正则曲面取向、面积元、向量场内积和二维换元。

学习目标¶

能写出有向面积元并计算通量，证明保向不变与反向变号，逐片核验参数范围和法向。

牵引问题¶

流体穿过曲面的净流量为什么不仅取决于曲面点集，还取决于我们把哪一侧规定为正？

探索与猜想¶

小曲面片上的穿出量近似“法向速度乘有向面积”。因此应把单位法向与面积元合并成 \(n\,dS=(r_u\times r_v)\,du\,dv\)，避免先归一化再乘回模长。

概念与理论¶

通量积分¶

设定向曲面 \(S\) 的单位法向为 \(n\)，向量场 \(F\) 连续。定义

其中参数化必须诱导所选取向；向量 \(n\,dS\) 称为有向面积元。

参数化与取向定理¶

对合法参数变换 \(\phi:E\to D\)，

参数域换元提供 Jacobian 的绝对值。若 \(\det D\phi>0\)，其取向符号为正，是保向 参数化，通量不变；若 \(\det D\phi<0\)，新叉积反向。若仍要表示原取向就须额外取负， 若接受新取向则通量变号。特别地，法向取向反转必使通量变号。

取向检查¶

先写参数范围，再算 \(r_u\times r_v\)，用向上或向外条件核验法向；分片曲面必须逐片 检查，不能假设不同参数片的叉积自动一致。这里不借助后续三大公式作证明。

例题与迁移¶

例 1：图形曲面的向上通量¶

\(S:z=x^2+y^2\)，参数范围 \(x^2+y^2\le1\)，向上取向， \(n\,dS=(-2x,-2y,1)\,dxdy\)。对 \(F=(0,0,1)\)，通量为 \(\iint_D1\,dxdy=\pi\)；向下取向结果为 \(-\pi\)。

例 2：球面径向场¶

单位球面用参数范围 \(0<\phi<\pi,0<\theta<2\pi\)，选择向外法向 \(n=r\)。 开参数域遗漏 \(\theta=0,2\pi\) 的接缝和南北两个极点；它们的像是一条曲线与两个点， 均为零面积边界。故调用 38.2 的零面积边界扩展，以闭子域穷竭；被积函数连续有界， 取向始终向外，极限与穷竭无关。对 \(F(x)=x\)，有 \(F\cdot n=1\)，通量为 \(4\pi\)。

例 3：分片曲面的逐片核验¶

取实心柱体的边界曲面 \(\partial\{x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1\}\)，分成三片，对 \(F=(0,0,1)\) 均取外法向。

• 侧面参数化： \(s(\theta,z)=(\cos\theta,\sin\theta,z)\)，参数范围 \(0\le\theta\le2\pi,\ 0\le z\le1\)。 \(s_\theta\times s_z=(\cos\theta,\sin\theta,0)\)，正是径向外法向，故侧面通量 \(\int_0^1\int_0^{2\pi}F(s)\cdot(s_\theta\times s_z)\,d\theta dz=0\)。
• 上盘参数化： \(t(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,1)\)，参数范围 \(0\le\rho\le1,\ 0\le\theta\le2\pi\)。 \(t_\rho\times t_\theta=(0,0,\rho)\) 向上，正是上盘外法向，故上盘通量 \(\int_0^{2\pi}\int_0^1\rho\,d\rho d\theta=\pi\)。
• 下盘参数化： \(b(\theta,\rho)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,0)\)，特意调整参数顺序，范围为 \(0\le\theta\le2\pi,\ 0\le\rho\le1\)。 \(b_\theta\times b_\rho=(0,0,-\rho)\) 向下，正是下盘外法向，故下盘通量 \(\int_0^1\int_0^{2\pi}(-\rho)\,d\theta d\rho=-\pi\)。

三片相加为 \(0+\pi-\pi=0\)。这里逐片写明参数化、参数范围、叉积及外法向核验， 并通过下盘调整顺序取得正确符号，未用后续定理。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

同一曲面把法向改为 \(-n\)，通量怎样变化？

即时检验 2¶

保向参数变换的通量为何不变？

常见误区与后续¶

• \(F\cdot n\,dS\) 是有向量；不能把叉积随意换成模。
• “向外”必须逐片检查，尤其是闭合的分片曲面。
• 本章只定义和计算通量；区域内部与边界通量的关系留给后续章节。

习题与答案¶

习题 1¶

\(F=(0,0,2)\) 穿过单位水平圆盘向上的通量是多少？

习题 2¶

改为向下取向呢？

习题 3¶

切向场对平面片的通量为何为零？

习题 4¶

交换 \(u,v\) 会怎样？

习题 5¶

为什么有向面积元不必先单位化？

习题 6¶

单位球面上常向量场的总通量是多少？

习题 7¶

分片曲面通量怎样定义？

习题 8¶

参数 Jacobian 为负表示什么？

习题 9¶

若法向未指定，通量是否唯一？

习题 10¶

图形曲面向上的有向面积元是什么？