含参积分怎样定义函数，参数与积分变量怎样分工？¶

先备知识¶

掌握闭区间上的 Riemann 积分、参数集合与函数定义域。

学习目标¶

能定义含参积分产生的新函数，并逐个参数检查积分存在性。

牵引问题¶

一个积分式同时出现 \(x,t\) 时，哪个变量被累积，哪个变量留下来？

探索与猜想¶

积分号消去积分变量 \(x\)，参数变量 \(t\) 决定一族被积函数并成为结果函数的自变量。

概念与理论¶

固定区域上的定义¶

设参数集 \(T\subset\mathbb R^m\)，固定紧区间 \(I=[a,b]\)。若对每个 \(t\in T\)， \(x\mapsto f(x,t)\) 在 \(I\) 上 Riemann 可积，就定义

这里 \(x\) 是积分变量，\(t\) 是参数变量；积分以后 \(x\) 不再自由，\(F\) 的定义域是 那些使截面函数可积的参数。不能只看公式外形就断言所有参数都合法。

固定紧致 Jordan 区域 \(D\subset\mathbb R^d\) 时同样定义

但本章不让 \(D\) 随 \(t\) 变化。固定区域使“被积函数变化”和“积分域变化”不混在一起。

基本代数结构¶

若 \(f(\cdot,t)\) 与 \(g(\cdot,t)\) 可积，则线性性给出

若 \(f(x,t)\le g(x,t)\) 对所有 \(x\) 成立，则 \(F(t)\le G(t)\)。这些都是逐参数应用 第 19 章结论，并没有自动得到关于 \(t\) 的连续性。

例题与迁移¶

例 1：多项式参数¶

对每个实数 \(t\) 都定义。

例 2：参数决定合法性¶

若 \(t>-1\)，分母在区间上不为零，截面连续可积；若 \(t\le-1\)，必须单独检查零点， 不能沿用正常积分定义。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\int_0^1 e^{tx}\,dx\) 中哪个是参数变量？

即时检验 2¶

逐参数可积是否已经保证 \(F(t)\) 连续？

常见误区与后续¶

• 哑变量改名不改变积分；参数改名则改变结果函数的坐标记号。
• “每个参数都可积”只保证 \(F\) 有定义，不保证连续、可导或可交换极限。

习题与答案¶

习题 1¶

指出 \(\int_{-1}^1(x+s)^2\,dx\) 的两个变量职责。

习题 2¶

计算 \(F(t)=\int_0^2 t\,dx\)。

习题 3¶

计算 \(F(t)=\int_0^1 tx^2\,dx\)。

习题 4¶

为什么固定积分区间重要？

习题 5¶

若某个参数使截面出现区间内奇点，应怎样处理？

习题 6¶

线性组合的参数可以变化吗？

习题 7¶

写出固定区域 \(D\) 上的定义。

习题 8¶

定义域为什么是结论的一部分？