怎样把有根证明变成误差可证的算法？¶

先备知识¶

零点定理、闭区间与 Python 函数调用。算法源码唯一位于 src/mathbook_examples/bisection.py。

学习目标¶

从连续异号条件导出二分不变量、误差界和停止准则，并解释实现拒绝的输入。

牵引问题¶

怎样返回一个数，并证明它离区间中的某个真根不超过给定容差？

探索与猜想¶

保留异号半区间就保留至少一个根；区间长度每步减半，中点到区间内任意根至多为半长。

概念与理论¶

算法：认证二分法¶

输入连续 \(f\)、有限端点 \(a<b\)、\(f(a)f(b)\le0\)、容差 \(\tau>0\)。若端点是根立即返回；否则反复取安全中点 [ m=a+\frac{b-a}{2}, ] 若命中根则返回，否则保留仍异号的一半，直到区间半长不超过 \(\tau\)。

循环不变量是： [ a_n<b_n,\quad f(a_n)f(b_n)\le0,\quad [a_n,b_n]\text{ 至少含一个根}. ]

定理：二分误差证书¶

完成 \(n\) 次二分后，区间长度为 \((b-a)/2^n\)。若返回其中点 \(r_n\)，则对 该区间中的某个根 \(c\)， [ |r_n-c|\le\frac{b-a}{2^{n+1}}. ] 要使误差不超过 \(\tau\)，选择满足 [ 2^{n+1}\ge\frac{b-a}{\tau} ] 的步数。证明只用根仍在区间内以及中点到区间内任一点不超过半长。\(\square\)

小残差 \(|f(r)|\) 不是无条件的根误差界；函数可能非常平坦。

例题与迁移¶

例题1：调用唯一实现¶

from mathbook_examples.bisection import bisect
result = bisect(lambda x: x**3 + x - 1, 0.0, 1.0, tolerance=1e-6)
print(result.root, result.error_bound)

例题2：先验步数¶

初始长度为1，要中点误差不超过 \(10^{-6}\)，取满足 \(2^{n+1}\ge10^6\) 的最小 \(n\)。实现还需给足迭代预算。

即时检验与回望¶

检验1：为什么保留异号？¶

检验2：端点为根怎么办？¶

习题与答案¶

习题1¶

初始长度1，20次二分后中点误差界是多少？

习题2¶

二分法保证根唯一吗？

习题3¶

端点同号能否直接运行？

习题4¶

为何容差必须为正且有限？

习题5¶

为什么拒绝函数返回 NaN？

常见误区与后续¶

二分误差是区间证书，不是残差猜测；算法需要连续性、异号、有限输入、正容差和足够 预算。下一单元统一比较三类证书。