系数怎样决定收敛半径？¶
先备知识¶
需要数项级数的根值判别与上极限。固定中心 \(x_0\)，对每个 \(x\) 先把级数视作普通 数项级数。
学习目标¶
- 定义实幂级数；
- 证明一点绝对收敛控制更靠近中心的点；
- 建立内部收敛、外部发散的半径二分；
- 用 Cauchy–Hadamard 公式计算半径；
- 把两个端点单独代回。
牵引问题¶
为什么幂级数的收敛集合不会在中心两侧零散分布，而必定先形成一个区间？
探索与猜想¶
若在 \(y\ne x_0\) 处绝对收敛，则 \(a_n(y-x_0)^n\) 有界。对更近的 \(x\)，额外 因子 \(|x-x_0|/|y-x_0|<1\) 提供几何控制。
概念与理论¶
幂级数¶
以 \(x_0\) 为中心的实幂级数是
系数 \(a_n\) 与 \(x\) 无关。
半径二分性¶
若级数在 \(y\ne x_0\) 绝对收敛，则数列 \(|a_n(y-x_0)^n|\) 有界于 \(M\)。当 \(|x-x_0|<|y-x_0|\) 时，令 \(q=|x-x_0|/|y-x_0|<1\)，则
故在 \(x\) 绝对收敛。逆否地，若在一点发散，则所有离中心更远处均发散。
因此存在 \(R\in[0,\infty]\)，使 \(|x-x_0|<R\) 时绝对收敛， \(|x-x_0|>R\) 时发散。边界 \(|x-x_0|=R\) 不由此定理决定。
Cauchy–Hadamard 公式¶
令
对通项绝对值应用根值判别，所得上极限为 \(L|x-x_0|\)。因此
约定 \(1/0=\infty,\ 1/\infty=0\)。这就是 Cauchy–Hadamard 公式。 若 \(0<R<\infty\)，两个端点 \(x_0-R,x_0+R\) 必须单独代回原级数判断。
例题与迁移¶
例 1：阶乘系数¶
\(\sum (x-x_0)^n/n!\) 中 \(\sqrt[n]{1/n!}\to0\)，故 \(R=\infty\)。
例 2：端点行为不同¶
\(\sum x^n/n\) 的 \(R=1\)。在 \(x=1\) 是调和级数，发散；在 \(x=-1\) 是交错调和 级数，收敛。半径公式不能替代端点检查。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
若 \(L=2\)，收敛半径是多少？
答案
\(R=1/2\)。
即时检验 2¶
根值判别在 \(|x-x_0|=R\) 给出什么？
答案
临界值为 \(1\)，通常无结论。
习题与答案¶
习题 1¶
求 \(\sum 3^nx^n\) 的半径。
答案
\(L=3\)，故 \(R=1/3\)。
习题 2¶
求 \(\sum x^n/n^2\) 的半径并判断端点。
答案
\(R=1\)，两端绝对收敛。
习题 3¶
求 \(\sum n!x^n\) 的半径。
答案
\(\sqrt[n]{n!}\to\infty\)，故 \(R=0\)。
习题 4¶
在一点绝对收敛为何推出更近处绝对收敛？
答案
原通项有界，距离比产生收敛几何上界。
习题 5¶
在一点发散为何推出更远处发散？
答案
若更远处收敛，二分性会反推原点绝对收敛，矛盾。
习题 6¶
中心点处级数总怎样？
答案
仅剩常数项 \(a_0\)，总收敛。
习题 7¶
\(R=\infty\) 是否还有有限端点？
答案
没有；所有实数点绝对收敛。
习题 8¶
为何两个端点可能有不同结论？
答案
代回后符号结构可能不同，如调和与交错调和。
常见误区与后续¶
- 半径只决定开区间内部与外部，不决定端点。
- 比值公式若极限不存在，应回到上极限根值公式。
- 下一单元把单点绝对收敛升级为内闭区间统一控制。