怎样在常用有界区域上定义重积分？¶

先备知识¶

掌握矩形上的重积分、闭集边界和常见曲线曲面区域。

学习目标¶

能把有界区域嵌入矩形定义积分，并说明该定义何时不依赖外包矩形。

牵引问题¶

圆盘不是矩形；怎样继续使用已经建立的矩形分割，而不先发明一整套测度理论？

探索与猜想¶

采用区域外补零，矩形 Riemann 和便只累计区域内贡献。真正要检查的是：边界附近的小格是否能产生不可控误差。

概念与理论¶

有界区域上的积分¶

设有界区域 \(D\subset\mathbb R^2\) 包含在矩形 \(R\) 内。定义零延拓

\[ \widetilde f(x,y)= \begin{cases} f(x,y),&(x,y)\in D,\\ 0,&(x,y)\in R\setminus D. \end{cases} \]

若 \(\widetilde f\) 在 \(R\) 上 Riemann 可积，则定义

\[ \iint_D f\,dA=\iint_R\widetilde f\,dA. \]

再换一个更大的外包矩形时，新增部分函数恒为零，区域可加性说明结果不变。

正文只使用由有限条分片光滑边界围成的常用平面区域，以及有限张分片光滑曲面围成的常用空间区域。下面在核心正文证明边界附近小格的总贡献确实可压小。本章 不发展 Jordan 测度；选读附录只给这种现象一个更广的名称，不承担本证明。

引理：分片光滑边界的薄盒覆盖¶

令 \(d=2\) 或 \(3\)。若有界集合 \(D\subset\mathbb R^d\) 的边界是有限个定义在紧参数矩形上的 \(C^1\) 参数片之并（曲线片对应 \(d=2\)，曲面片对应 \(d=3\)），则对每个 \(\eta>0\)，存在覆盖 \(\partial D\) 的有限个轴对齐闭盒，其总体积小于 \(\eta\)。

证明。紧参数域上的 Lipschitz 控制。 先看一个参数片 \(r:P\subset\mathbb R^{d-1}\to\mathbb R^d\)。\(Dr\) 在紧集 \(P\) 上连续，故存在 \(L<\infty\) 使 \(\|Dr\|\le L\)。连接参数点的线段若跨过参数矩形的边，只需把线段按有限矩形分片切开；逐段使用一元中值估计并相加，得到

\[ \|r(s)-r(t)\|\le L\|s-t\|. \]

曲线片需要的盒数。 以边长 \(h\) 的参数小区间覆盖一维参数域，所需数目满足 \(N_h\le C h^{-1}\)。每段像的直径不超过 \(Lh\)，可放进边长 \(Ch\) 的轴对齐正方形，故覆盖总面积至多 \(N_h(Ch)^2\le C'h\)。

曲面片需要的盒数。 以边长 \(h\) 的参数小正方形覆盖二维参数域，所需数目满足 \(N_h\le C h^{-2}\)。每块像可放进边长 \(Ch\) 的轴对齐立方体，故覆盖总体积至多 \(N_h(Ch)^3\le C'h\)。这两种计数统一写成

\[ N_h\le C h^{-(d-1)},\qquad N_h(Ch)^d\le C' h. \]

有限片合并。 边界只有有限个参数片，把各片常数相加后右端仍随 \(h\to0\) 趋于零。取足够小的 \(h\)，所有覆盖盒总体积便小于 \(\eta\)。重叠只会使并集体积更小，不影响结论。\(\square\)

定理：常用区域的零延拓可积¶

设 \(D\subset\mathbb R^d\) 有界，边界满足上一引理，且 \(f\) 在闭包 \(\overline D\) 上连续。则 \(f\) 在外包长方体 \(R\) 上的零延拓 \(\widetilde f\) Riemann 可积。

证明。 由紧致性，\(f\) 有界，记 \(M=\max_{\overline D}|f|\)，且一致连续。若 \(M=0\)，零延拓恒为零，结论显然。以下设 \(M>0\)。给定 \(\varepsilon>0\)，令 \(\eta=\varepsilon/(4M)\)。先用薄盒引理取有限闭盒覆盖并 \(U_0\)，使

\[ \operatorname{vol}(U_0)<\eta/2. \]

这里不能直接断言 \(U_0\) 外的闭网格不碰边界，因为相邻闭格会共享覆盖盒端点。对有限个覆盖盒逐盒膨胀：每个坐标方向向外增加同一个足够小的正量。有限盒总体积随膨胀量连续变化，所以可使膨胀后的开盒并 \(U\) 仍满足

\[ \partial D\subset U,\qquad \operatorname{vol}(U)<\eta. \]

\(\partial D\) 是紧集而 \(\mathbb R^d\setminus U\) 是与它不交的闭集，故有正余量

\[ \gamma=\operatorname{dist}(\partial D,\mathbb R^d\setminus U)>0. \]

另一方面，由 \(f\) 在 \(\overline D\) 上一致连续，可先取 \(\delta_\varepsilon>0\)，使得对任意 \(x,y\in\overline D\)，只要 \(|x-y|<\delta_\varepsilon\)，就有

\[ |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2\operatorname{vol}(R)}. \]

现在取 \(R\) 的轴对齐网格，使每个闭格 \(Q\) 都有

\[ \operatorname{diam}(Q)<\min\{\gamma,\delta_\varepsilon\}. \]

若 \(Q\cap\partial D\ne\varnothing\)，从交点到 \(Q\) 中任一点的距离都小于 \(\gamma\)，所以 \(Q\subset U\)。因此所有边界格都整体落在同一个可控的加厚覆盖中；其余格不碰 \(\partial D\)，其内部全在 \(D\) 中或全在 \(R\setminus D\) 中。

在不碰边界且位于 \(D\) 内的内部格上，由上述 \(\delta_\varepsilon\) 的选择， \(f\) 的振幅小于 \(\varepsilon/(2\operatorname{vol}(R))\)；位于 \(D\) 外的小盒上零延拓振幅为零。边界格的振幅贡献至多

\[ \sum_{Q\cap\partial D\ne\varnothing} \operatorname{osc}_Q(\widetilde f)\operatorname{vol}(Q) \le 2M\operatorname{vol}(U)<\varepsilon/2. \]

其余格的贡献小于 \(\varepsilon/2\)。所以这个网格分割的 Darboux 上下和之差小于 \(\varepsilon\)，零延拓 Riemann 可积。\(\square\)

该证明同时说明外包矩形无关：把两个外包盒放进同一个更大盒，新增部分上的零延拓恒为零；共同细分和区域可加性给出相同积分。

同理，在长方体中使用小长方体体积 \(\Delta V\) 定义三重积分 \(\iiint_\Omega f\,dV\)。本单元只定义，不提前讨论累次计算或坐标变换。

例题与迁移¶

例 1：圆盘面积¶

在单位圆盘 \(D\) 上积分 \(1\)，Riemann 和累计的是落在圆盘内小格的面积；极限记为 \(\iint_D1\,dA\)。其计算留到极坐标单元。

例 2：空间密度¶

若 \(\rho\) 在有界立体 \(\Omega\) 上连续且非负，则 \(\iiint_\Omega\rho\,dV\) 定义总质量。此处只保证表达式有意义，不代替单位核验。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何外包矩形的选择不改变积分？

答案

两个外包矩形可嵌入更大矩形；新增区域上零延拓恒为零，区域可加性使新增积分为零。

即时检验 2¶

本单元是否已经给出圆盘积分的计算公式？

答案

没有，只定义了积分；累次积分与极坐标计算分别在后续章节建立。

常见误区与后续¶

零延拓常在边界不连续；必须说明边界属于正文允许的常用类型。
区域面积本身可写为 \(\iint_D1\,dA\)。
第 34 章将把区域积分化为累次积分。

习题与答案¶

习题 1¶

三角形区域可否用本单元定义积分？

答案

可以，它由有限条线段围成，属于分片光滑边界的常用区域。

习题 2¶

区域外为何必须补零而不是任意常数？

答案

补零才不向目标区域之外加入额外贡献。

习题 3¶

\(\iint_D1\,dA\) 表示什么？

答案

区域 \(D\) 的面积。

习题 4¶

\(\iiint_\Omega1\,dV\) 表示什么？

答案

立体 \(\Omega\) 的体积。

习题 5¶

若 \(f\ge0\)，区域积分能否为负？

答案

不能，零延拓仍非负，单调性给出积分非负。

习题 6¶

两个内部不交的常用区域能否相加？

答案

能，在共同外包矩形上应用区域可加性。

习题 7¶

边界非常复杂时能否无条件套用本单元结论？

答案

不能；正文只承诺有限分片光滑边界，复杂集合留待更强理论。

习题 8¶

质量积分为何要求密度乘体积元？

答案

小块质量近似为局部密度乘小块体积，求和后取极限。

习题 9¶

本章与选读附录的关系是什么？

答案

核心正文直接处理常用区域；附录解释 Jordan 内容，但不是核心前置。