连续函数怎样保证取遍中间值？¶

先备知识¶

第二部区间套定理、连续性与最终保号。本单元不把图像穿越当作证明。

学习目标¶

完整证明零点定理和介值定理，标明完备性与连续性的使用位置，并区分存在与唯一。

牵引问题¶

连续函数两端异号，怎样由无限次二分得到一个真正的零点？

探索与猜想¶

每次保留仍有异号端点的一半，形成长度趋零的嵌套闭区间；区间套产生公共点，连续性 排除该点函数值非零。

概念与理论¶

定理：零点定理¶

若 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 连续且 \(f(a)f(b)\le0\)，则存在 \(c\in[a,b]\) 使 \(f(c)=0\)。

证明。 端点为零时结论已得。否则不妨 \(f(a)<0<f(b)\)。令 \([a_0,b_0]=[a,b]\)。已得 \([a_n,b_n]\) 后取中点 \(m_n\)：若 \(f(m_n)=0\) 即结束；否则保留满足 [ f(a_{n+1})<0<f(b_{n+1}) ] 的那个半区间。于是区间嵌套且 \(b_n-a_n=(b-a)/2^n\to0\)。区间套定理给出唯一 \(c\in\bigcap_n[a_n,b_n]\)，并有 \(a_n,b_n\to c\)。 若 \(f(c)>0\)，连续性与保号性使充分大的 \(n\) 有 \(f(a_n)>0\)，矛盾； 若 \(f(c)<0\)，同理与 \(f(b_n)>0\) 矛盾。故 \(f(c)=0\)。\(\square\)

区间套使用实数完备性；连续性把 \(c\) 处的非零符号传播到邻近端点。

定理：介值定理¶

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续，\(y\) 介于 \(f(a),f(b)\) 之间，则存在 \(c\in[a,b]\) 使 \(f(c)=y\)。

证明。 对连续函数 \(h(x)=f(x)-y\) 应用零点定理： \(h(a)h(b)\le0\)，故 \(h(c)=0\)，即 \(f(c)=y\)。\(\square\)

结论只保证至少一个原像，不保证唯一，也不自动给出有限步算法。

例题与迁移¶

例题1：立方根存在¶

\(f(x)=x^3-2\) 在 \([1,2]\) 连续，端点值为 \(-1,6\)，故存在 \(c\in(1,2)\) 使 \(c^3=2\)。

例题2：存在不等于唯一¶

\(x^2-1\) 在 \([-2,2]\) 两端同号，仍有两个零点；在 \([0,2]\) 上异号只证明 至少有根 \(1\)，唯一性需要额外论证。

即时检验与回望¶

检验1：不连续时异号够吗？¶

检验2：完备性在哪里？¶

习题与答案¶

习题1¶

证明 \(x^5+x-1\) 在 \([0,1]\) 有零点。

习题2¶

目标值等于端点函数值时怎么办？

习题3¶

介值定理能否推出唯一性？

习题4¶

说明二分中为何始终能保留异号半区间。

习题5¶

连续函数从 \(2\) 变到 \(5\) 是否取到 \(3.7\)？

常见误区与后续¶

异号是充分条件而非必要条件；存在不等于唯一；证明产生无限区间证书，下一单元先 辨析不动点存在与迭代收敛。