对参数再积分时，怎样通过经典 Fubini 交换次序？¶

先备知识¶

熟悉闭矩形上的二重 Riemann 积分与累次积分。

学习目标¶

能在连续条件下交换两次积分，并明确区域固定这一边界。

牵引问题¶

先对 \(x\) 积分再对参数 \(t\) 积分，何时等于反过来？

探索与猜想¶

两次累次积分都在汇总同一固定矩形上的函数值，连续性保证它们相等。

概念与理论¶

经典 Fubini 公式¶

若 \(f\) 在闭矩形 \([a,b]\times[c,d]\) 上连续，则它 Riemann 可积，并且

\[ \int_c^d\left(\int_a^b f(x,t)\,dx\right)dt =\int_a^b\left(\int_c^d f(x,t)\,dt\right)dx. \]

这两个两次累次积分都等于同一个二重积分。这里讨论的是经典 Fubini 定理：区域固定、函数连续、积分正常。

交换次序工作流¶

先画出固定区域并核对上下限，再确认连续性，最后比较两种次序中哪一种原函数更容易计算。交换只改变累积顺序，不改变积分区域。

例题与迁移¶

例 1：可分离核¶

\[ \int_0^1\int_0^2 xt\,dx\,dt =\left(\int_0^2x\,dx\right)\left(\int_0^1t\,dt\right)=1. \]

例 2：按参数先积¶

\[ \int_0^1\int_0^1 e^{xt}\,dx\,dt =\int_0^1\int_0^1 e^{xt}\,dt\,dx, \]

两个次序合法；实际计算时可依边界与原函数选择。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

交换次序后矩形会改变吗？

答案

不会，仍是同一固定闭矩形。

即时检验 2¶

本单元使用哪种积分框架？

答案

连续函数在闭矩形上的经典 Riemann 积分。

常见误区与后续¶

不能只交换积分符号而忘记对应上下限。
非连续函数或无界区域需要更细的理论，本章仅提示后续学习方向。

习题与答案¶

习题 1¶

交换 \(\int_0^2\int_1^3f(x,t)\,dx\,dt\) 的次序。

答案

\(\int_1^3\int_0^2f(x,t)\,dt\,dx\)。

习题 2¶

经典公式的区域是什么？

答案

固定闭矩形。

习题 3¶

连续性保证什么？

答案

二重 Riemann 积分与两种累次积分存在且相等。

习题 4¶

计算 \(\int_0^1\int_0^1(x+t)\,dx\,dt\)。

答案

等于 \(1\)。

习题 5¶

可分离核有何便利？

答案

二重积分可写成两个一元积分的乘积。

习题 6¶

交换顺序会改变积分值吗？

答案

满足定理条件时不会。

习题 7¶

为什么先画区域？

答案

可避免交换后写错上下限。

习题 8¶

参数再积分后还留下自由变量吗？

答案

若只有 \(x,t\)，两者都积分后结果为数。

习题 9¶

本公式能直接用于无界矩形吗？

答案

不能，本单元条件是固定闭矩形。

习题 10¶

交换前必须核对哪两项？

答案

固定区域与函数连续性。