确界原理能推出什么？¶

先备知识¶

本单元建立在本章的前两个单元之上：先会辨认上确界，再会把“非空且有上界”交给确界原理。本书采用 \(\mathbb N=\{1,2,\ldots\}\)，并把它的通常顺序、\(n\in\mathbb N\Rightarrow n+1\in\mathbb N\)，以及良序性（每个非空的自然数集合有最小元）作为基础约定；还需使用整数与有理数的四则运算。本节不使用数列极限；第 1 章中量词的例子现在可以借助本节的结论写成真正的存在性陈述。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

1. 从确界原理完整证明阿基米德性质；
2. 在任意 \(x<y\) 的实数之间构造一个有理数；
3. 解释正数平方根存在为何是完备性而非连续性的后果；
4. 分清“对每个正长度都能取得足够大的整数”与极限语言的区别。

牵引问题¶

整数看起来彼此相隔很远，有理数又只是实数中的一小部分。为什么它们仍足以穿过任意有限界限、并钻进任意短的实数区间？如果这一点失败，那么“把误差缩小到任意给定正数以下”将没有可操作的尺度。确界原理给出的答案是：自然数不可能被一个实数上界永久拦住。

探索与猜想¶

设想 \(ℕ\) 有上界，令它的最小上界为 \(s\)。既然 \(s-1<s\)，数 \(s-1\) 不会仍是上界；于是应有某个自然数 \(n>s-1\)。但 \(n+1\) 还是自然数，且 \(n+1>s\)，这会与 \(s\) 是上界冲突。这个只移动 \(1\) 的论证，将把确界原理转化为一项极其常用的工具。

再设 \(x<y\)。若取到 \(n\) 使 \(n(y-x)>1\)，那么放大后的区间 \((nx,ny)\) 长于 \(1\)，必能容纳一个整数 \(m\)；于是 \(m/n\) 就落回 \((x,y)\)。关键是把“足够大”变成清楚的量词：对每个正数 \(y-x\)，存在自然数 \(n\)。

概念与理论¶

阿基米德性质¶

阿基米德性质。 对每个实数 \(x\)，都存在 \(n\in\mathbb N\) 使 \(n>x\)。等价地，对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(n\in\mathbb N\) 使 \(0<1/n<\varepsilon\)。

证明。 若 \(\mathbb N\) 有上界，则由确界原理，令 \(s=\sup\mathbb N\)。由于 \(s-1<s\)，\(s-1\) 不是 \(\mathbb N\) 的上界；因此存在 \(n\in\mathbb N\) 使 \(n>s-1\)。于是 \(n+1>s\)。但 \(n+1\in\mathbb N\)，这与 \(s\) 是 \(\mathbb N\) 的上界矛盾。故 \(\mathbb N\) 没有上界，亦即对每个实数 \(x\) 都能找到 \(n\in\mathbb N\) 使 \(n>x\)。\(\square\)

第二个表述只需把第一个表述用于 \(x=1/\varepsilon\)：取得 \(n>1/\varepsilon\) 后，因两数为正，取倒数得 \(1/n<\varepsilon\)。它不是“\(n\) 趋于无穷大”的简写，而是一条可逐个调用的存在性结论。

整数部分引理¶

整数部分引理。 对每个 \(r\in\mathbb R\)，存在 \(m\in\mathbb Z\) 使

证明。 由阿基米德性质，取 \(N\in\mathbb N\) 使 \(N>|r|\)，于是 \(r+N>0\)。再由阿基米德性质，集合

非空。本书的自然数良序性保证它有最小元，令 \(k=\min A\)。由 \(k\in A\)，有 \(r+N<k\)。另一方面，若 \(k=1\)，则 \(k-1=0<r+N\)；若 \(k>1\)，则 \(k-1\in\mathbb N\)，且它不能属于 \(A\)（否则与 \(k\) 的最小性矛盾），故 \(k-1\le r+N\)。两种情形合并为

令 \(m=k-N\in\mathbb Z\)，两端减去 \(N\) 即得 \(m-1\le r<m\)。\(\square\)

此引理不是把“取整”当作黑箱：它明确展示了整数 \(m\) 如何由阿基米德性质和自然数良序性选出。

例：在两个实数之间找到有理数¶

有理数在实数中稠密。 若 \(x<y\)，则存在 \(q\in\mathbb Q\) 使 \(x<q<y\)。

证明。 由阿基米德性质，可取 \(n\in\mathbb N\) 使 \(n(y-x)>1\)。由整数部分引理应用于 \(r=nx\)，存在整数 \(m\) 使

令 \(q=m/n\)。由 \(nx<m\) 得 \(x<q\)；又由 \(m-1\le nx\) 得 \(m\le nx+1\)，所以

故 \(x<q<y\)，且 \(q=m/n\in\mathbb Q\)。\(\square\)

这里的构造还说明了怎样把一个定性的存在命题变成步骤：先选择满足 \(n(y-x)>1\) 的分母，再取刚刚超过 \(nx\) 的整数分子。它只用完备性推出的阿基米德性质，不借助后续的极限或连续性。

另一个后果：正数平方根存在¶

上一单元已经用确界原理证明：每个 \(a>0\) 有唯一 \(s>0\) 满足 \(s^2=a\)。这说明正数平方根存在也是完备性的结论。证明的结构是取

令 \(s=\sup S\)，再用显式的左右扰动排除 \(s^2<a\) 与 \(s^2>a\)。因此，不能把“有平方根”误说成函数连续性的推论；连续性与介值定理将在后面的章节建立。

例题与迁移¶

给定 \(x=\sqrt2\)、\(y=3/2\)，我们知道 \(x<y\)，因 \((3/2)^2=9/4>2\)。上面的证明保证在 \((\sqrt2,3/2)\) 内有有理数，但它没有要求先知道 \(\sqrt2\) 的小数展开。若只想实际找一个，可以检验 \(7/5\)：\((7/5)^2=49/25<2\)，故 \(7/5<\sqrt2\)；它不在目标区间。再检验 \(10/7\)：\(2<100/49\)，所以 \(\sqrt2<10/7<3/2\)，这便给出了一个合适的有理数。存在性证明与一次具体搜索是不同任务：前者对每一对 \(x<y\) 都有效，后者只解决一个实例。

把稠密性迁移到证明中时，应先确认区间长度 \(y-x\) 是正数，再由阿基米德性质选择分母。不要从“实数有很多小数”直接跳到结论；小数展开尚未被本书作为证明工具建立。

即时检验与回望¶

1. 阿基米德性质中，“\(\mathbb N\) 无上界”为什么等价于“对每个实数 \(x\) 存在 \(n\in\mathbb N\) 使 \(n>x\)”？

1. 稠密性证明中，为何 \(n(y-x)>1\) 能推出 \(1/n<y-x\)？

1. “任意 \(x<y\) 之间存在有理数”是否意味着每个实数都是有理数？

回看牵引问题：确界原理先排除了自然数有上界的可能，再让我们用整数刻度控制任何正长度。下一章将把这种“任意小误差”正式组织成递推、区间套与无限逼近的问题。

习题与答案¶

ex-u-01-03-03-01¶

用阿基米德性质证明：对任意 \(M>0\)，存在正整数 \(n\) 使 \(n>M\)。

ex-u-01-03-03-02¶

证明：对每个 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(n\) 使 \(1/n<\varepsilon\)。

ex-u-01-03-03-03¶

设 \(x<y\)。按本节构造证明，写出使 \(x<m/n<y\) 的 \(m,n\) 应满足的两个不等式。

ex-u-01-03-03-04¶

完整解答。 证明有理数在实数中稠密：对任意 \(x<y\)，存在 \(q\in\mathbb Q\) 使 \(x<q<y\)。不得使用小数展开或数列极限。