Simpson 方法怎样给出预算与误差证书？¶

先备知识¶

第 22.4 单元的中点和梯形公式对线性函数精确，误差由二阶导数控制。Simpson 方法把两个相邻小区间合成一个面板，用三个节点的权重消去更低阶误差，从而获得四阶全局界。

本单元需要第四部的 Rolle 定理与有限 Taylor 思想，但不会把有限多项式近似升级为无穷展开。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

从一个双区间面板推出 \(1,4,1\) 权重；
验证 Simpson 对三次多项式精确；
证明单面板和复合四阶误差界；
说明网格数为什么必须是正偶数；
从目标容差反求最小偶数预算；
区分误差界存在、目标达到与预算耗尽；
解释调用者必须证明的导数界。

牵引问题¶

中点与梯形都只有二阶全局误差。如果把粗网格梯形与面板中点按恰当比例组合，能否消去主要二阶误差？即使得到四阶公式，怎样知道有限预算是否足以达到给定容差？

探索与猜想¶

在对称面板 \([m-h,m+h]\) 上，三个节点是 \(m-h,m,m+h\)。设近似为

\[ h\left(Af(m-h)+Bf(m)+Af(m+h)\right). \]

对常数函数精确要求 \(2A+B=2\)；对二次函数精确要求 \(2A=2/3\)。所以 \(A=1/3,B=4/3\)，得到经典权重。对称性又使奇次项自动抵消。

概念与理论¶

单面板 Simpson 公式¶

在面板 \([m-h,m+h]\) 上，

\[ S_{\mathrm{panel}}(f) =\frac h3\bigl[f(m-h)+4f(m)+f(m+h)\bigr]. \]

把 \(1,x,x^2,x^3\) 分别代入，或围绕 \(m\) 写成 \(1,(x-m),(x-m)^2,(x-m)^3\)，可以直接验证公式对所有三次多项式精确。

注意：三个节点通常只唯一决定二次插值多项式；Simpson 对三次多项式也精确，来自对称区间上奇次项积分和对称节点和同时为零。

复合 Simpson 公式¶

设

\[ x_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n}. \]

每个面板需要两个相邻小区间，所以 \(n\) 必须为正偶数。把 \(n/2\) 个面板相加：

\[ S_n=\frac h3\left[ f(x_0)+f(x_n) +4\sum_{\substack{1\le i<n\\i\ \mathrm{奇}}}f(x_i) +2\sum_{\substack{2\le i<n\\i\ \mathrm{偶}}}f(x_i) \right]. \]

奇数编号节点是面板中点，只属于一个面板，权重为 \(4\)；正的偶数内部节点由相邻面板共享，两个端点权重 \(1\) 相加成为 \(2\)。

单面板四阶误差引理¶

在平移后的面板 \([-h,h]\) 上定义误差泛函

\[ \mathcal E(f) =\int_{-h}^{h}f(x)\,dx -\frac h3[f(-h)+4f(0)+f(h)]. \]

它对三次以下多项式为零。对 \(x^4\) 直接计算：

\[ \mathcal E(x^4) =\frac{2h^5}{5}-\frac{2h^5}{3} =-\frac{4h^5}{15}. \]

下面给出反复 Rolle 定理常用证明的等价单变量核形式。对 \(f\in C^4[-h,h]\)，四次分部积分可验证

\[ \mathcal E(f)=\int_{-h}^{h}K_h(t)f^{(4)}(t)\,dt, \]

其中

\[ K_h(t)= \begin{cases} -\dfrac{(h+t)^3(h-3t)}{72},&-h\le t\le0,\\[6pt] -\dfrac{(h-t)^3(h+3t)}{72},&0\le t\le h. \end{cases} \]

验证时在 \([-h,0]\)、\([0,h]\) 分别积分四次；端点项正好留下积分项与 \(1,4,1\) 三个节点值。这个核处处非正，并且

\[ \int_{-h}^{h}K_h(t)\,dt=-\frac{h^5}{90}. \]

由带权积分中值定理，存在 \(\xi\in(-h,h)\) 使

\[ \mathcal E(f) =f^{(4)}(\xi)\int_{-h}^{h}K_h(t)\,dt =-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi). \]

核证明与对辅助余项反复使用 Rolle 的证明表达的是同一个四阶消去事实；这里写出核，是为了同时看清符号和常数。

复合 Simpson 误差¶

定理。 若 \(f\in C^4[a,b]\)，并且在整个区间上

\[ |f^{(4)}(x)|\le M_4, \]

则对正偶数 \(n\)，

\[ \left|\int_a^bf(x)\,dx-S_n\right| \le\frac{b-a}{180}M_4h^4. \]

证明。 每个面板误差绝对值不超过 \(M_4h^5/90\)。共有 \(n/2\) 个面板，所以

\[ |E_S| \le\frac n2\frac{M_4h^5}{90} =\frac{nh}{180}M_4h^4 =\frac{b-a}{180}M_4h^4. \]

证毕。

从容差到最小偶数网格¶

因为 \(h=(b-a)/n\)，要求误差上界不超过 \(\tau>0\) 等价于

\[ \frac{M_4(b-a)^5}{180n^4}\le\tau. \]

所以先求

\[ n_{\mathrm{raw}} =\left(\frac{M_4(b-a)^5}{180\tau}\right)^{1/4}, \]

再向上取为最小正偶数。先取最近整数或向下取整都可能使误差界仍大于目标。

预算算法¶

certified_simpson 执行：

检查端点有限且 \(a<b\)；
检查 \(\tau>0\)、\(M_4\ge0\) 且数值有限；
检查最大子区间预算至少为 \(2\)；
求满足解析界的最小正偶数 \(n\)；
若预算足够，返回 status="target_met"、target_met=True；
若预算不足，用预算内最大正偶数网格，返回 status="budget_exhausted"、target_met=False；
两种状态都返回当前 error_bound，前提是调用者证明了 \(M_4\)。

预算耗尽与数学假设失败不同：前者仍可能拥有一个有效但偏大的条件性界；错误导数界、非有限函数值或非法区间则不能生成可靠结果。

例题与迁移¶

例 1：三次函数精确¶

对 \(f(x)=x^3-2x+1\) 在 \([-1,2]\) 上取任意正偶数网格。因为 \(f^{(4)}\equiv0\)，误差界为零，Simpson 结果必须等于

\[ \int_{-1}^{2}(x^3-2x+1)\,dx=\frac{15}{4}. \]

这不表示算法使用了原函数；它表示公式对三次多项式的代数精确性。

例 2：指数函数的成功预算¶

在 \([0,1]\) 上，\(f(x)=e^x\) 满足 \(f^{(4)}(x)=e^x\le e\)。取 \(\tau=10^{-8}\)，预算上限 \(1000\)。共享实现返回：

subdivisions=36
evaluations=37
error_bound=8.991082315041867e-09
target_met=True
status="target_met"

近似值约为 1.718281834141971。严格陈述是：在 \(M_4=e\) 已经证明且忽略浮点舍入误差的模型下，解析求积误差不超过返回的 error_bound。

例 3：预算耗尽¶

仍计算 \(e^x\)，把目标改成 \(10^{-12}\)，最大子区间数改成 \(4\)。四段误差上界大于目标，程序返回：

subdivisions=4
target_met=False
status="budget_exhausted"

这不应写成“算法发散”。它表示给定预算不足以让已证明的上界达到目标；可以增加预算、放宽容差或证明更小的 \(M_4\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么 \(n=5\) 不能直接用于复合 Simpson？

答案

每个面板由两个相邻小区间组成。五段无法完整配成面板，所以标准复合公式要求 \(n\) 为正偶数。

即时检验 2¶

若 \(M_4=0\)，目标容差再小，为什么两段已经足够？

答案

误差上界恒为零，说明函数在该区间上至多是三次多项式；单面板 Simpson 已经精确。

回望：权重负责低阶消去，四阶导数界负责最坏误差，偶数取整负责让面板结构完整，状态字段负责区分“有界”与“达标”。

习题与答案¶

练习 1：重建权重¶

设对称面板近似为 \(h[A f(-h)+Bf(0)+A f(h)]\)。要求对常数和 \(x^2\) 精确，求 \(A,B\)。

答案

对常数：\(2A+B=2\)。对 \(x^2\)：

\[ 2Ah^3=\int_{-h}^{h}x^2dx=\frac{2h^3}{3}, \]

所以 \(A=1/3\)，再得 \(B=4/3\)。

练习 2：奇次精确性¶

为什么上题得到的公式自动对 \(x\) 和 \(x^3\) 精确？

答案

两个函数都关于面板中点为奇函数，真实积分为零；对称节点值也互相抵消，中点值为零，所以 Simpson 和同样为零。

练习 3：误差界计算¶

在长度为 \(2\) 的区间上取 \(n=10\)，且 \(|f^{(4)}|\le6\)。求 Simpson 误差上界。

答案

\(h=2/10=1/5\)，故

\[ |E_S|\le\frac{2}{180}\cdot6\cdot\left(\frac15\right)^4 =\frac1{9375}. \]

练习 4：最小偶数化¶

由误差不等式算得 \(n_{\mathrm{raw}}=8.01\)。标准复合 Simpson 至少取多少段？

答案

先向上得到 \(9\)，但 \(9\) 不是偶数，因此还要增加到 \(10\)。取 \(8\) 会小于原始门槛，取 \(9\) 又不能完整分面板。

练习 5：四次函数¶

对 \(f(x)=x^4\) 在 \([0,1]\) 上取 \(n=4\)。给出有效 \(M_4\) 与误差上界。

答案

\(f^{(4)}=24\)，故 \(M_4=24\)。上界为

\[ \frac{24}{180\cdot4^4}=\frac1{1920}. \]

练习 6：调用者义务¶

程序接受了参数 fourth_derivative_bound=2.0。这是否证明 \(|f^{(4)}|\le2\)？

答案

否。程序只检查参数是有限非负数。调用者必须用函数表达式、单调性或其他数学论证证明该界覆盖整个积分区间。

练习 7：状态解释¶

结果包含 error_bound=0.003、target_tolerance=0.001、 status="budget_exhausted"。写出不夸大的结论。

答案

在导数界已证明且采用解析误差模型的前提下，当前求积误差不超过 \(0.003\)；现有预算没有证明误差不超过目标 \(0.001\)。不能报告“目标已达到”。

练习 8：首个非法证书¶

某人把相邻两个 Simpson 网格结果之差 \(4\times10^{-6}\) 直接称为严格误差界。指出缺失条件。

答案

两个近似彼此接近并不自动控制它们与真实积分的距离。除非另有已证明的后验误差定理，否则严格界仍须来自整个区间上的 \(M_4\) 与 Simpson 误差公式。

常见误区与后续¶

忘记复合 Simpson 的网格数必须为正偶数；
只验证二次插值，却没有解释三次精确性；
引用四阶误差常数而不给单面板来源；
向下取整网格预算；
把 budget_exhausted 解释成函数不收敛；
把程序接受导数界参数误写成程序证明了导数界；
把解析求积误差界说成覆盖浮点舍入误差。

下一单元把反常积分的尾部截断与本单元的有限求积证书合并。Euler–Maclaurin、 Romberg、自适应求积和 Gauss 求积留在本章范围之外。