有上界为什么还不够？¶

先备知识¶

本单元以第 2 章：实数系与完备性公理为正式全书先备。你应已理解有理数缺口：不存在有理数 \(q\) 使 \(q^2=2\)，以及 Dedekind 分割如何把集合 \(D=\{q\in\mathbb Q:q<0\text{ 或 }q^2<2\}\) 视为一个待补足的边界对象。本单元还使用实数的大小关系及不等式的基本性质：若 \(a<b\)，则 \(a+c<b+c\)；若 \(0<c\)，则 \(ac<bc\)。不需要解析几何或 Python。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

1. 用量词准确说出集合的上界、下界、最大元、最小元、上确界与下确界；
2. 区分“有上界”“有最大元”与“有最小上界”三种不同陈述；
3. 证明有理数集中的有界集合也可能没有最小上界。

牵引问题¶

上一章的集合

有许多有理数上界，例如 \(2\)、\(3/2\) 和 \(10/7\)。若一个集合已经有上界，是否必定能在这些上界中挑出“最靠左”的那一个？这个问题正是完备性所要回答的；仅有有序的数系还不够。

探索与猜想¶

先看 \(S=(0,1]\subset\mathbb R\)。数 \(1\) 是 \(S\) 的上界，因为每个 \(x\in S\) 都满足 \(x\le1\)；它同时属于 \(S\)，所以还是 \(S\) 的最大元。相比之下，\(2\) 也是上界，却并不“贴住”集合。

再看 \(T=(0,1)\)。\(1\) 仍是上界，但 \(1\notin T\)，故它不是最大元。这里有一个自然猜想：即使集合不含那个边界点，边界仍可作为所有上界中最小的一个。这个猜想对实数成立，但对有理数中的 \(D\) 将失败。

概念与理论¶

上界、下界与确界¶

设 \(S\subseteq\mathbb R\)。若存在 \(M\in\mathbb R\)，使得

则称 \(M\) 是 \(S\) 的一个上界，并称 \(S\) 有上界。若存在 \(m\in\mathbb R\)，使得 \((\forall x\in S)\ m\le x\)，则称 \(m\) 是 \(S\) 的一个下界。

若 \(M\in S\) 且 \(M\) 是 \(S\) 的上界，则 \(M\) 是 \(S\) 的最大元，记作 \(\max S=M\)。最大元是集合中的元素；上界不必属于集合。

若 \(\alpha\) 是 \(S\) 的上界，并且它不大于任何上界，即对每个上界 \(M\) 都有 \(\alpha\le M\)，则称 \(\alpha\) 为 \(S\) 的上确界（或最小上界），记作

同理，最大的下界称为 \(S\) 的下确界，记作 \(\inf S\)。这些定义分两步：先验证“界住整个集合”，再比较“所有的界”。

最大元与上确界的关系¶

若 \(\max S\) 存在，那么 \(\sup S\) 也存在，且二者相等。因为最大元 \(a\) 是上界；另一方面，每个上界都必须不小于集合元素 \(a\)，所以 \(a\) 是最小的上界。反过来，\(\sup S\) 不一定是最大元：\(\sup(0,1)=1\)，但 \(1\) 不在 \((0,1)\) 中。

这一区别可以概括为：最大元回答“集合中最大的元素在哪里”，上确界回答“所有上界最靠左能到哪里”。后者允许边界不属于集合。

有界不等于有确界¶

在有理数中考虑 \(D\)。它非空（\(0\in D\)），且有上界（\(2\) 是一个上界）。事实上，设 \(u\in\mathbb Q\) 是 \(D\) 的上界。由于 \(0\in D\)，有 \(u\ge0\)。若 \(u\in D\)，上一章给出的“向右仍在 \(D\) 中”的构造会产生 \(q\in D\) 使 \(q>u\)，这与 \(u\) 是上界矛盾。所以 \(u\notin D\) 且 \(u\ge0\)，从而 \(u>0\) 且 \(u^2>2\)：其中严格不等式 \(u^2>2\) 还使用了上一章的结论 \(u^2\ne2\)。

更重要的是，每个这样的有理上界都还能向左缩小。令

则 \(r\in\mathbb Q\)，且

因此 \(0<r<u\)、\(r^2>2\)。对任意 \(d\in D\)，若 \(d<0\) 则 \(d<r\)；若 \(d\ge0\)，则 \(d^2<2<r^2\)，从而 \(d<r\)。所以 \(r\) 仍是 \(D\) 的上界，却比 \(u\) 更小。这说明 \(D\) 在 \(\mathbb Q\) 中没有最小上界。

例题与迁移¶

例：有理数中的缺失上确界¶

证明：集合 \(D=\{q\in\mathbb Q:q<0\text{ 或 }q^2<2\}\) 在 \(\mathbb Q\) 中有上界，却没有最小上界。

证明。 \(2\) 是 \(D\) 的上界。事实上，若 \(d<0\)，则 \(d<2\)；若 \(d\ge0\) 且 \(d^2<2<2^2\)，则 \(d<2\)。

现设 \(u\in\mathbb Q\) 是任意一个上界。由于 \(0\in D\)，有 \(u\ge0\)。若 \(u\in D\)，上一章的向右构造会给出 \(q\in D\) 且 \(q>u\)，这与上界性矛盾；故 \(u\notin D\)。所以 \(u\notin D\) 且 \(u\ge0\)，从而 \(u>0\)，并由 \(u^2\ne2\) 得 \(u^2>2\)。定义 \(r=(2u+2)/(u+2)\)。上面的计算表明 \(0<r<u\) 且 \(r^2>2\)；由平方比较，\(r\) 是 \(D\) 的上界。故每个有理上界 \(u\) 都有一个更小的有理上界 \(r\)，不存在最小的有理上界。\(\square\)

在实数系中，我们会把这条缺失的边界记作 \(\sqrt2\)，并有 \(\sup D=\sqrt2\)。这一结论还不能从有理数的顺序本身推出；它需要下一单元正式引入的确界原理。

即时检验与回望¶

1. 对 \(S=(0,1]\)，数 \(1\) 分别是上界、最大元、上确界吗？

1. 对 \(T=(0,1)\)，为什么 \(1\) 不是最大元却是上确界？

1. “有上界”为什么没有保证“有最小上界”？

回看牵引问题：有界性只是“能从外部围住”的信息；要保证存在一个最贴近的边界，还要有更强的完备性结构。下一单元将把这一结构表述为确界原理。

习题与答案¶

ex-u-01-03-01-01¶

设 \(A=[-2,3)\subset\mathbb R\)。写出一个上界、一个下界，并判定 \(\max A,\min A,\sup A,\inf A\) 是否存在。

ex-u-01-03-01-02¶

证明：若 \(\max S\) 存在，则 \(\sup S\) 存在且 \(\sup S=\max S\)。

ex-u-01-03-01-03¶

给出一个在 \(\mathbb R\) 中有上确界但没有最大元的集合，并完整说明你的判断。

ex-u-01-03-01-04¶

解释为什么 \(D=\{q\in\mathbb Q:q<0\text{ 或 }q^2<2\}\) 不能在 \(\mathbb Q\) 中有最小上界；你的论证须明确指出如何从任一上界构造更小的上界。