Cauchy 余项揭示了怎样的证明结构？¶

先备知识¶

你需要掌握 Cauchy 中值定理、乘积求导、求和记号，以及前两页的 Peano 与 Lagrange 余项。尤其要记住：两个余项公式中出现的“存在某个中间点”不意味着它们产生同一个点。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

构造随展开位置移动的辅助函数；
展示 Taylor 各项求导后的逐项抵消；
用 Cauchy 中值定理证明 Cauchy 余项；
核验符号、阶数、阶乘和中间点位置；
按条件、结论形态和用途比较三种余项。

牵引问题¶

Lagrange 余项把误差集中在一个未知中间点的 \(n+1\) 阶导数上。是否存在另一种形式，能让“从展开点走向目标点”的过程直接出现在公式里？这样的形式不一定更容易计算，却可能揭示 Taylor 多项式各阶项为什么会整齐抵消。

探索与猜想¶

固定目标点 \(x\)，让展开中心从 \(a\) 移动到变量 \(t\)。定义

\[ \Phi(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k. \]

当 \(t=a\) 时，和式就是 \(P_n(x)\)，所以 \(\Phi(a)=R_n(x)\)；当 \(t=x\) 时，所有正次幂消失，只剩 \(f(x)\)，所以 \(\Phi(x)=0\)。若 \(\Phi'\) 能简化成单独一个高阶导数项，Cauchy 中值定理就能比较这两个端点值。

概念与理论¶

条件合同¶

与 Lagrange 余项相同：对固定 \(x\ne a\)，要求 \(f\) 在一个包含 \(a,x\) 之间闭线段的开区间上具有直到 \(n+1\) 阶导数。这样 \(\Phi\) 在闭线段连续、内部可导， Cauchy 中值定理合法。

逐项抵消¶

把和式最前面的项写开：

\[ \begin{aligned} S(t)={}&f(t)+f'(t)(x-t) +\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots . \end{aligned} \]

逐项求导：

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(t)=f'(t), \]

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigl[f'(t)(x-t)\bigr] =f''(t)(x-t)-f'(t), \]

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left[\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2\right] =\frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2-f''(t)(x-t). \]

第一项的 \(f'\) 被第二项的 \(-f'\) 抵消，第二项产生的 \(f''(x-t)\) 又被第三项抵消。一般地，第 \(k\) 项求导产生

\[ \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k -\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}, \]

后一部分与前一项求导的正项抵消，最后只留下

\[ S'(t)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n. \]

因为 \(\Phi(t)=f(x)-S(t)\)，所以

\[ \Phi'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n. \]

定理：Cauchy 余项公式¶

在上述条件下，存在严格位于 \(a,x\) 之间的 \(\xi\)，使

\[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a). \]

证明。 已知

\[ \Phi(a)=R_n(x),\qquad \Phi(x)=0. \]

把 \(\Phi(t)\) 与

\[ g(t)=x-t \]

一起用于 Cauchy 中值定理。分母函数的导数恒为 \(-1\)，因此不存在除零漏洞。定理给出某个严格位于 \(a,x\) 之间的 \(\xi\)，使

\[ \frac{\Phi(x)-\Phi(a)}{g(x)-g(a)} =\frac{\Phi'(\xi)}{g'(\xi)}. \]

左边为

\[ \frac{-R_n(x)}{-(x-a)}=\frac{R_n(x)}{x-a}, \]

右边为

\[ \frac{-f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n/n!}{-1} =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n. \]

两边乘以 \(x-a\) 即得结论。\(\square\)

三种余项比较¶

余项	条件强度	结论形态	主要用途
Peano	展开点逐阶可导	\(o((x-a)^n)\)	局部渐近、等价比较
Lagrange	连接区间上 \(n+1\) 阶可导	\(\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\)	直接误差上界
Cauchy	连接区间上 \(n+1\) 阶可导	\(\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)\)	中值结构、替代估计

三种余项不能无条件互换。Peano 条件较弱，通常不给固定点误差证书；Lagrange 与 Cauchy 条件更强。后两式的中间点一般不同，也不要求唯一。Cauchy 形式来自移动展开点和 Cauchy 中值定理，不是把 Lagrange 公式简单做代数变形。

例题与迁移¶

例题1：在三次函数中看见抵消¶

取 \(f(t)=t^3,n=2\)，固定目标 \(x\)。有

\[ \Phi(t)=x^3-\left[t^3+3t^2(x-t)+3t(x-t)^2\right]. \]

由一般公式，

\[ \Phi'(t)=-\frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2=-3(x-t)^2. \]

直接展开括号也得到

\[ t^3+3t^2(x-t)+3t(x-t)^2=x^3-(x-t)^3, \]

所以 \(\Phi(t)=(x-t)^3\)，其导数确实是 \(-3(x-t)^2\)。这个有限例把一般求和式中的逐项抵消完全显露出来。

若 \(a=0\)，则 \(R_2(x)=x^3\)。Cauchy 公式给出

\[ x^3=3(x-\xi)^2x, \]

其中可取 \(\xi=x(1-1/\sqrt3)\)，它确实位于 \(0,x\) 之间。

例题2：同一函数的三种回答¶

对 \(e^x\) 在零点的一阶近似 \(1+x\)：

Peano 给出 \(e^x=1+x+o(x)\)，适合处理 \(x\to0\) 的等价关系；
Lagrange 给出

[ R_1(x)=\frac{e^{\xi_L}}{2}x^2, ]

在连接区间上控制 \(e^t\) 后可直接估计误差； - Cauchy 给出

[ R_1(x)=e^{\xi_C}(x-\xi_C)x. ]

\(\xi_L\) 与 \(\xi_C\) 都在 0 与 \(x\) 之间，但没有理由相同。三个结论共享 Taylor 多项式，却回答不同问题。

即时检验与回望¶

即时检验1¶

为什么 \(\Phi'(t)\) 前面是负号？

答案

和式 \(S(t)\) 求导后留下正的 \(f^{(n+1)}(t)(x-t)^n/n!\)。而 \(\Phi(t)=f(x)-S(t)\)，固定的 \(f(x)\) 对 \(t\) 求导为零，因此 \(\Phi'=-S'\)，负号不能省略。

即时检验2¶

Cauchy 中值定理在这里为什么可以写成比值？

答案

选取的分母函数是 \(g(t)=x-t\)，其导数在整个区间恒为 \(-1\)，绝不为零；端点增量 \(g(x)-g(a)=-(x-a)\) 也因 \(x\ne a\) 而非零。因此不存在隐藏的除零。

回看牵引问题：移动展开点把余项变成辅助函数的端点增量，而逐项抵消把它的导数压缩成唯一的高阶项。Cauchy 中值定理于是把“移动过程”保留在因子 \((x-\xi)^n(x-a)\) 中。

习题与答案¶

习题1：端点值¶

从定义直接证明 \(\Phi(a)=R_n(x)\) 与 \(\Phi(x)=0\)。

答案

\(t=a\) 时和式正是 \(P_n(x)\)，故 \(\Phi(a)=f(x)-P_n(x)=R_n(x)\)。\(t=x\) 时所有 \(k\ge1\) 的项都含 \((x-t)^k=0\)，\(k=0\) 项为 \(f(x)\)，所以 \(\Phi(x)=0\)。

习题2：一般项求导¶

求

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left[\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right]. \]

答案

使用乘积法则得

\[ \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k -\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}. \]

第二项中的 \(k/k!\) 已化为 \(1/(k-1)!\)。

习题3：阶乘核验¶

为什么 Cauchy 余项的分母是 \(n!\)，而不是 \((n+1)!\)？

答案

逐项抵消后留下的是第 \(n\) 项求导产生的 \(f^{(n+1)}(t)(x-t)^n/n!\)。证明没有对归一化的 \((n+1)\) 次幂求 \(n+1\) 阶导数，所以不会出现 \((n+1)!\)。

习题4：不能共用中间点¶

为什么不能把 Lagrange 公式中的 \(\xi_L\) 直接代入 Cauchy 公式？

答案

两个存在性结论来自不同辅助函数和不同的中值定理应用。它们各自保证至少存在一个点，没有保证点唯一，更没有保证两组存在点相交。因此只能分别记为 \(\xi_L,\xi_C\)。

习题5：选择余项¶

若任务是计算 \(x\to0\) 的局部极限，应优先考虑哪种余项？若任务是保证 \(x=0.4\) 的误差小于给定阈值呢？

答案

局部极限通常优先用条件较弱、形式简洁的 Peano 余项。固定点误差预算通常优先用 Lagrange 余项，因为区间导数上界可直接替换未知中间点。Cauchy 形式更适合分析中值结构或在特定导数估计中提供替代路线。

常见误区与后续¶

求导时忘记 \((x-t)^k\) 带来的负号；
把 Cauchy 分母误写成 \((n+1)!\)；
假定不同余项中的中间点相同；
只看公式外形，不核验每种余项自己的条件。

下一单元把有限阶多项式和误差预算送入算法，并讨论数值微分中截断与舍入的竞争。