跳转至

折线长度怎样逼近光滑图像的弧长？

先备知识

有限折线的长度是各线段长度之和。对函数图像 \(y=f(x)\)，在一组横坐标上取点并首尾 相连，就得到内接折线。分割越细，折线能追踪越多图像变化。

本单元设 \(f\in C^1([a,b])\)：\(f\) 可导且 \(f'\) 连续。闭区间连续性保证 \(f'\) 一致连续，也保证

\[ g(x)=\sqrt{1+[f'(x)]^2} \]

连续并 Riemann 可积。

学习目标

完成本单元后，你应能：

  1. 定义内接折线长度；
  2. 用三角不等式证明分割加细不减小长度；
  3. 以上确界定义函数图像弧长；
  4. 用 Lagrange 中值定理把折线和化成 Riemann 和；
  5. 用公共加细闭合上确界与积分的双向比较；
  6. 用弦长和水平长度回验计算结果。

牵引问题

只计算某一组等距点形成的折线，为什么不足以定义曲线长度？如果所有越来越细的折线都 趋向同一个数，这个数又怎样与“所有折线长度的上确界”一致？

探索与猜想

在子区间 \([x_{i-1},x_i]\) 上，弦长为

\[ \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta f_i)^2} =\Delta x_i \sqrt{1+\left(\frac{\Delta f_i}{\Delta x_i}\right)^2}. \]

Lagrange 中值定理把差商写成某点的 \(f'(\xi_i)\)。因此整条折线长度看起来正是 \(\sqrt{1+(f')^2}\) 的一个带标记 Riemann 和。

但还要解决两件事：加点是否会让折线变短；某个粗分割的长度是否可能大于细分极限。

概念与理论

内接折线长度

对分割

\[ P:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b, \]

取图像上的点 \((x_i,f(x_i))\)，定义内接折线长度

\[ L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+ \bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr)^2}. \]

这个定义没有假设折线“已经等于”曲线，只记录有限采样所能看到的总长度。

分割加细的单调性

引理。 若 \(P'\) 是 \(P\) 的加细，则

\[ L(f,P')\ge L(f,P). \]

证明。 只需考虑在某段端点 \(A,C\) 之间加入一点 \(B\)。三角不等式给出

\[ |AC|\le |AB|+|BC|. \]

所以加入一点后该段折线长度不减。有限次加入所有新分点即得结论。证毕。

这说明加细会揭示原来被一条弦“抄近路”忽略的弯曲。

函数图像的弧长

定义。 函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的图像弧长定义为

\[ L(f;[a,b]) =\sup_P L(f,P), \]

其中上确界遍历 \([a,b]\) 的所有有限分割。若上确界有限，就称该图像可求长。

上确界定义同时接纳所有分割，避免把某一种等距取样序列误当成长度本身。

\(C^1\) 图像弧长公式

定理。 若 \(f\in C^1([a,b])\)，则图像可求长，且

\[ L(f;[a,b]) =\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx. \]

证明。 记

\[ g(x)=\sqrt{1+[f'(x)]^2}. \]

它在闭区间上连续且一致连续。

对任意分割 \(P\)，Lagrange 中值定理保证每个子区间内存在 \(\xi_i\in(x_{i-1},x_i)\)，使

\[ \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(\xi_i). \]

于是

\[ \begin{aligned} L(f,P) &=\sum_i \Delta x_i \sqrt{1+\left( \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{\Delta x_i} \right)^2}\\ &=\sum_i g(\xi_i)\Delta x_i. \end{aligned} \]

因此，对任意网格趋于零的分割列 \(P_n\)，折线长度是 \(g\) 的带标记 Riemann 和， 从而

\[ L(f,P_n)\longrightarrow I:=\int_a^b g(x)\,dx. \]

特别地，取一列等距分割便得到

\[ \sup_P L(f,P)\ge I. \]

反过来，固定任意分割 \(Q\)。把 \(Q\) 与第 \(n\) 个等距分割取公共加细，记为 \(P_n\)。则 \(P_n\supset Q\)、\(\lVert P_n\rVert\to0\)，由加细单调性，

\[ L(f,Q)\le L(f,P_n). \]

令 \(n\to\infty\)，得到

\[ L(f,Q)\le I. \]

因为 \(Q\) 任意，\(\sup_Q L(f,Q)\le I\)。合并两个方向，

\[ L(f;[a,b])=I. \]

证毕。

没有使用向量中值定理

证明只对实值函数 \(f\) 使用 Lagrange 中值定理。不能声称一个向量值曲线的增量 总能等于“某点导向量乘区间长度”；本章没有使用这种错误的向量中值定理。

两个快速下界

由被积函数满足 \(\sqrt{1+[f'(x)]^2}\ge1\)，

\[ L\ge b-a. \]

另一方面，整条图像的弧长至少等于端点之间的弦长：

\[ L\ge\sqrt{(b-a)^2+\bigl(f(b)-f(a)\bigr)^2}. \]

任何计算结果若小于这两个下界之一，都一定有误。

例题与迁移

例 1：直线

设 \(f(x)=mx+c\)，\(x\in[a,b]\)。因为 \(f'=m\)，

\[ L=\int_a^b\sqrt{1+m^2}\,dx =(b-a)\sqrt{1+m^2}. \]

这正是端点距离；直线的任意内接折线都落在同一直线上，不会因加细而增加长度。

例 2：专门配出的可积例子

设

\[ f(x)=\frac23x^{3/2},\qquad 0\le x\le3. \]

有 \(f'(x)=\sqrt x\)，所以

\[ \begin{aligned} L &=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx\\ &=\left[\frac23(1+x)^{3/2}\right]_0^3 =\frac{14}{3}. \end{aligned} \]

水平长度为 \(3\)，端点弦长为 \(\sqrt{9+12}=\sqrt{21}\)，二者都不超过 \(14/3\)。

即时检验与回望

即时检验 1

为什么“等距分割的折线长度有极限”还不足以直接说明这个极限就是弧长定义中的上确界？

答案

因为上确界遍历所有分割，某个非等距粗分割理论上可能更长。证明必须固定任意 \(Q\)，再构造包含 \(Q\) 且网格趋零的公共加细 \(P_n\)，用 \(L(f,Q)\le L(f,P_n)\to I\) 排除这种可能。

即时检验 2

某计算得到定义在 \([0,2]\) 上的函数图像弧长为 \(1.8\)。无需查看计算即可判断什么？

答案

一定错误，因为弧长至少等于水平长度 \(b-a=2\)。若知道端点，还可用端点弦长给出 更强下界。

习题与答案

练习 1：常函数

求 \(f(x)=5\) 在 \([-2,3]\) 上的图像弧长。

答案

\(f'=0\)，所以

\[ L=\int_{-2}^{3}1\,dx=5. \]

它等于水平长度和端点弦长。

练习 2：直线尺度

求 \(y=2x-1\) 在 \([0,4]\) 上的图像弧长。

答案
\[ L=\int_0^4\sqrt{1+4}\,dx=4\sqrt5. \]

端点差为 \((4,8)\)，弦长也是 \(\sqrt{16+64}=4\sqrt5\)。

练习 3：根式可积

求 \(f(x)=\frac23x^{3/2}\) 在 \([0,8]\) 上的图像弧长。

答案

\(f'=\sqrt x\)，故

\[ L=\int_0^8\sqrt{1+x}\,dx =\frac23(9^{3/2}-1)=\frac{52}{3}. \]

练习 4：加细不减

对 \(f(x)=x^2\) 和分割 \(P=\{0,1\}\)，加入点 \(1/2\)。写出两个折线长度并核对单调性。

答案
\[ L(f,P)=\sqrt2. \]

加细后

\[ L(f,P')=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac14\right)^2} +\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac34\right)^2} =\frac{\sqrt5+\sqrt{13}}4>\sqrt2. \]

练习 5：条件边界

函数 \(f(x)=|x|\) 在 \([-1,1]\) 上不属于 \(C^1\)。能否仍从几何上求其图像长度？

答案

可以。图像由两条线段组成，每段长度为 \(\sqrt2\)，总长 \(2\sqrt2\)。 这说明 \(C^1\) 是本单元定理的充分条件，不是所有可求长图像的必要条件；不能因为 条件不满足就把公式当作已由该定理证明。

练习 6：错误论证

某证明说：“对曲线位置向量 \(\gamma\)，存在统一的 \(\xi\) 使 \(\gamma(b)-\gamma(a)=\gamma'(\xi)(b-a)\)，所以弧长公式成立。”指出错误并说明本单元 怎样避开它。

答案

实值中值定理不能直接升级成该向量等式；不同坐标所需的中值点可能不同。本单元只对 每个标量差商 \((f(x_i)-f(x_{i-1}))/\Delta x_i\) 使用 Lagrange 中值定理， 再把所得折线长度识别为 \(g(x)=\sqrt{1+[f'(x)]^2}\) 的 Riemann 和。

常见误区与后续

  • 单条折线只是下方近似，不是定义本身；
  • 仅证明细分割极限还不够，必须用公共加细控制所有粗分割；
  • 公式中的 \(1\) 来自横向增量 \(\Delta x\)，不能凭记忆删掉；
  • 计算后至少检查 \(L\ge b-a\) 和端点弦长下界。

本单元只证明实值 \(C^1\) 函数图像的公式。参数曲线、曲面面积和更一般的可求长理论 不属于本章核心。