被积函数联合连续时，积分为什么连续依赖参数？¶

先备知识¶

掌握紧集上一致连续、Riemann 积分绝对值估计与多元连续。

学习目标¶

能把参数连续性转化为积分变量上的统一误差估计。

牵引问题¶

每个固定 \(x\) 处的小变化，怎样升级为整个区间同时足够小？

探索与猜想¶

关键不是逐点比较，而是让同一个参数邻域控制所有 \(x\in[a,b]\)。

概念与理论¶

交换对象¶

这里没有数列极限；要证明的是参数极限 \(t\to t_0\) 与积分的交换。

定理条件¶

若 \(f\) 在紧矩形 \([a,b]\times K\) 上联合连续，则

在 \(K\) 上连续。

证明路线¶

固定 \(t_0\in K\)。联合连续加紧致性推出 \(f\) 在整个矩形上一致连续。因此给定 \(\varepsilon>0\)，可取 \(\delta>0\)，使 \(t\in K\)、 \(\lVert t-t_0\rVert<\delta\) 时对所有 \(x\in[a,b]\) 同时有

（当 \(a=b\) 时结论平凡）。于是上确界估计给出

所以 \(F(t)\to F(t_0)\)。

条件用在何处¶

联合连续保证局部函数值变化小；紧致性把局部尺度压成同一个 \(\delta\)；固定有限区间 给出有限因子 \(b-a\)。三者承担不同职责。

失败边界¶

若只能对每个 \(x\) 单独选 \(\delta_x\)，就不能直接控制整个积分。若积分区间无界， 因子 \(b-a\) 不存在，需要第 44 章的统一尾项。

例题与迁移¶

例 1：指数核¶

\(f(x,t)=e^{tx}\) 在 \([0,1]\times[-M,M]\) 上联合连续，故 \(F(t)=\int_0^1e^{tx}\,dx\) 在 \([-M,M]\) 连续。

例 2：二维固定区域¶

若 \(D=[0,1]^2\)，\(f(x,y,t)=txy\)，则同一证明把 \(b-a\) 换成区域面积，得到 \(F(t)=t/4\) 连续。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

证明中为何不能先固定 \(x\) 再选 \(\delta_x\)？

即时检验 2¶

紧致性在证明中产生了什么？

常见误区与后续¶

• 连续截面族不自动联合连续。
• 公式算出的 \(F\) 连续可以核验结果，但不能替代一般定理证明。

习题与答案¶

习题 1¶

证明 \(\int_0^1\cos(tx)\,dx\) 关于 \(t\) 连续。

习题 2¶

区间长度在估计中怎样出现？

习题 3¶

若 \(a=b\)，结论怎样？

习题 4¶

参数是向量时需改动哪一步？

习题 5¶

联合连续是否保证每个截面可积？

习题 6¶

固定 Jordan 区域时长度因子换成什么？

习题 7¶

为什么无界区间不能直接照搬？

习题 8¶

写出连续性目标的量词。

习题 9¶

若参数集不是紧集，能否证明一点连续？