什么条件允许对含参积分求导？¶

先备知识¶

熟悉偏导数、闭矩形上的连续性，以及第 42 章的一致极限交换。

学习目标¶

能陈述并使用积分号下求导的充分条件，同时知道条件不能只按点检查。

牵引问题¶

对 \(F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx\)，何时可以先对 \(t\) 求偏导再积分？

探索与猜想¶

若差商在整个积分区间一致逼近偏导，积分就能保留这个极限。

概念与理论¶

固定端点定理¶

设 \(J\) 是开区间，\(f\) 与偏导数 \(\partial_t f\) 在 \([a,b]\times J\) 上连续。令

则 \(F\) 在 \(J\) 上可导，并且

这是便于核查的充分条件。固定端点排除了区域变化；连续偏导在每个较小闭矩形上给出差商的一致控制。下一单元证明这一步。

使用顺序¶

先确认积分区间固定，再确认 \(f\) 给出正常 Riemann 积分，最后在目标参数附近的闭矩形上检查 \(\partial_t f\) 连续。只知道每个 \(x\) 处偏导存在并不足够。

例题与迁移¶

例 1：指数核¶

任意有界参数邻域上 \(e^{tx}\) 与 \(xe^{tx}\) 联合连续，定理适用。

例 2：多项式核¶

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

定理为何要求参数区间开？

即时检验 2¶

端点依赖 \(t\) 时能直接套用吗？

常见误区与后续¶

• “偏导存在”不等于“偏导连续”，更不自动给出一致控制。
• 本单元只给易核查的充分条件，不宣称它是必要条件。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(\frac d{dt}\int_0^1(t+x)\,dx\)。

习题 2¶

求 \(\frac d{dt}\int_0^\pi\sin(tx)\,dx\) 的积分表示。

习题 3¶

定理中哪个条件提供一致控制？

习题 4¶

固定端点有什么作用？

习题 5¶

\(f(x,t)=x^2t^3\) 是否满足条件？

习题 6¶

可否只检查目标参数处的偏导？

习题 7¶

写出 \(F(t)=\int_a^b\cos(t+x)\,dx\) 的导数。

习题 8¶

若 \(a=b\)，公式是否仍成立？

习题 9¶

本定理采用哪一种积分？

习题 10¶

说明“充分条件”的含义。