用点列靠近能否判别函数极限？¶

先备知识¶

你需要掌握数列收敛的 \(\varepsilon\)-\(N\) 定义，能够证明 \(|x_n-a|<1/n\) 推出 \(x_n\to a\)，并会作量词否定。实轴距离把点列靠近与 函数的去心邻域连接起来。本单元只讨论有限点 \(a\) 处、有限目标 \(L\) 的函数极限； \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义仍是主语言。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 陈述 Heine 序列判别，并标清点列所属定义域与避开中心点的条件；
2. 从函数极限推出任意逼近点列的函数值收敛；
3. 否定 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 陈述，并为每个 \(n\) 选出一个坏点；
4. 用点列转移已知极限，或用不同路径构造反例。

牵引问题¶

函数 [ f(x)=\sin\frac1x,\qquad x\ne0 ] 在 \(0\) 附近不断改变函数值。若只看某一串点，可能得到一个稳定结果；换另一串同样 趋于 \(0\) 的点，却可能得到不同结果。一个真正的函数极限必须约束每一条由定义域 点组成、避开中心点并趋于中心点的点列。

探索与猜想¶

只检查两条、十条乃至有限多条点列，不能证明函数极限存在，因为还有无穷多条路径未被 检查。然而，要否定极限，只需找到一条函数值不趋于候选值的点列；若找到两条函数值 趋于不同值的点列，矛盾尤其清楚。

反方向的关键不是“凭图挑点”，而是把函数极限失败的量词完整否定：存在一个固定误差， 无论邻域多小，总有一个定义域坏点。令邻域半径依次为 \(1/n\)，这些坏点自然组成 趋于讨论点的点列。

概念与理论¶

定理：Heine 序列判别¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(a\in\mathbb R\) 是 \(D\) 的聚点， \(L\in\mathbb R\)。则下列两条等价：

1. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\)；
2. 对每个满足 [ x_n\in D\setminus{a},\qquad x_n\to a ] 的点列，都有 \(f(x_n)\to L\)。

这里“每个”不能换成“某个”。点列必须属于定义域且逐项避开 \(a\)，因为原函数极限 考察的是定义域去心邻域。

必要性：由函数极限推出点列极限。 假设 \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)。任取 [ x_n\in D\setminus{a},\qquad x_n\to a. ] 给定 \(\varepsilon>0\)。由函数极限定义，存在 \(\delta>0\)，使 [ x\in D,\quad 0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. ] 由 \(x_n\to a\)，存在 \(N\)，使 \(n\ge N\) 时 \(|x_n-a|<\delta\)。又因每个 \(x_n\ne a\)，故 [ 0<|x_n-a|<\delta. ] 所以 \(n\ge N\) 时 \(|f(x_n)-L|<\varepsilon\)，即 \(f(x_n)\to L\)。

充分性：由所有点列结论推出函数极限。 假设条件 2 成立，却有 \(\lim_{x\to a}f(x)\ne L\)。函数极限定义的否定是

固定这个 \(\varepsilon_0\)。对每个 \(n\ge1\)，把 \(\delta=1/n\) 代入否定式，选出 \(x_n\in D\)，使 [ 0<|x_n-a|<\frac1n,\qquad |f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0. ] 第一组不等式保证 \(x_n\in D\setminus\{a\}\)，并且 [ 0\le |x_n-a|<\frac1n\longrightarrow0, ] 所以 \(x_n\to a\)。但第二组不等式说明函数值从未进入 \(L\) 的 \(\varepsilon_0\) 邻域，故 \(f(x_n)\not\to L\)。这与条件 2 矛盾。因此 函数极限必为 \(L\)。\(\square\)

这个证明展示了序列判别的角色：邻域定义给出全部量词，点列把“任意小邻域里都有 坏点”编码为一个反例序列。它是等价判别，不取代定义。

推论：不同路径足以否定极限¶

若存在两列 [ x_n,y_n\in D\setminus{a},\qquad x_n\to a,\quad y_n\to a, ] 使 \(f(x_n)\to A\)、\(f(y_n)\to B\) 且 \(A\ne B\)，则 \(\lim_{x\to a}f(x)\) 不存在有限值。

证明。 若极限为 \(L\)，必要性会同时给出 \(f(x_n)\to L\) 与 \(f(y_n)\to L\)。数列极限唯一，于是 \(A=L=B\)，与 \(A\ne B\) 矛盾。\(\square\)

例题与迁移¶

例题 1：两条点列揭示振荡反例¶

证明 \(\sin(1/x)\) 在 \(x\to0\) 时不存在有限极限。

证明。 对 \(n\ge1\)，令 [ x_n=\frac1{2\pi n+\pi/2},\qquad y_n=\frac1{2\pi n+3\pi/2}. ] 两列均为非零实数且都趋于 \(0\)。同时， [ \sin\frac1{x_n} =\sin\left(2\pi n+\frac\pi2\right)=1, ] [ \sin\frac1{y_n} =\sin\left(2\pi n+\frac{3\pi}2\right)=-1. ] 两条函数值点列分别趋于 \(1\) 与 \(-1\)。由不同路径推论，原函数在 \(0\) 没有 有限极限。\(\square\)

例题 2：把函数极限转移到交错点列¶

在 \(D=\mathbb R\setminus\{1\}\) 上令 [ q(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. ] 已知 \(\lim_{x\to1}q(x)=2\)。求 [ \lim_{n\to\infty}q\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right). ]

解。 令 \(x_n=1+(-1)^n/n\)。则 \(x_n\ne1\)，所以 \(x_n\in D\)；又有 [ |x_n-1|=\frac1n\to0, ] 故 \(x_n\to1\)。由序列判别的必要性， [ q(x_n)\to2. ] 也可核对 \(q(x_n)=x_n+1=2+(-1)^n/n\to2\)。交错地从左右靠近并不影响已经建立的 双侧极限。

即时检验与回望¶

即时检验 1：为什么点列必须避开中心点？¶

若允许 \(x_n=a\)，会怎样错误地把 \(f(a)\) 混入去心极限？

即时检验 2：为什么选择 \(1/n\)？¶

在充分性证明中，能否把坏点窗口半径固定为 \(1\)？

习题与答案¶

习题 1：把平方极限转移到任意点列¶

已知 \(\lim_{x\to2}x^2=4\)。设 \(x_n\ne2\) 且 \(x_n\to2\)。证明 \(x_n^2\to4\)。

习题 2：一条坏点列否定有限极限¶

用 \(x_n=1/n\) 证明 \(1/x\) 在 \(x\to0\) 时没有有限极限。

习题 3：跳跃函数的两侧点列¶

定义 [ s(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\ 1,&x\ge0. \end{cases} ] 用两条点列证明 \(s\) 在 \(x\to0\) 时没有有限极限。

习题 4：稠密交错反例¶

定义 \(d:\mathbb R\to\mathbb R\)： [ d(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\ 0,&x\notin\mathbb Q. \end{cases} ] 证明 \(d\) 在 \(x\to0\) 时没有有限极限。

习题 5：局部相等怎样转移极限？¶

设 \(f,g:D\to\mathbb R\)，且在某个 \(a\) 的定义域去心邻域内 \(f(x)=g(x)\)。 若 \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)，用序列判别证明 \(\lim_{x\to a}g(x)=L\)。

常见误区与后续¶

• 误区 1： 找到一条好点列就宣布极限存在。存在性要求所有允许点列都通过。
• 误区 2： 认为反例必须有两条点列。一条不趋于候选值的坏点列已经足够；两条路径 只是常用而清楚的构造。
• 误区 3： 构造坏点时忘记 \(x_n\in D\setminus\{a\}\)。这两个条件都来自原定义。
• 误区 4： 把序列判别当作本书的起始定义。它的充分性证明依赖对 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义作量词否定。

至此，本章从邻域定义出发，建立了证明方法、单侧与无穷情形、运算法则，并以点列完成 等价判别和反例工具。进入下一章时，仍应先核对定义域、靠近方式与目标类型。