Bernstein 多项式怎样逼近连续函数？¶
先备知识¶
需要闭区间上一致连续、二项式定理和有限求和。证明全程使用有限代数与不等式。
学习目标¶
- 定义 Bernstein 多项式并证明权重构成凸组合；
- 证明保持常数和线性函数；
- 计算精确二阶中心矩；
- 用近点—远点分裂证明一致收敛；
- 得到 Weierstrass 多项式逼近定理。
牵引问题¶
只使用均匀网格函数值 \(f(k/n)\)，怎样构造一个多项式，并保证所有 \(x\) 处同时 逼近 \(f(x)\)？
探索与猜想¶
令权重集中在 \(k/n\approx x\) 的位置。近点由一致连续性控制；远点虽可能误差大， 但二阶中心矩迫使远点总权重变小。
概念与理论¶
Bernstein 多项式¶
对 \(f\in C([0,1])\)，定义
当 \(x\in[0,1]\) 时权重非负；由二项式定理，权重和为 1。因此 \(B_n(f;x)\) 是样本值的凸组合。
有限矩恒等式¶
对 \((x+(1-x))^n\) 作有限求导或使用组合恒等式可得
故构造保持常数、保持线性函数。进一步
这就是二阶中心矩；推导只涉及有限和。
Bernstein–Weierstrass 定理¶
定理。 对每个 \(f\in C([0,1])\)，\(B_n(f)\to f\) 一致。因此每个闭区间连续 函数都可由多项式一致逼近。
证明。 令 \(M=\|f\|_\infty\)。给定 \(\varepsilon>0\)，由一致连续性取 \(\delta>0\)，使 \(|u-v|<\delta\) 时函数值差小于 \(\varepsilon/2\)。 写
近点 \(|k/n-x|<\delta\) 的总贡献小于 \(\varepsilon/2\)。远点贡献至多
选统一的足够大 \(n\)，使它小于 \(\varepsilon/2\)。所得界与 \(x\) 无关，故一致 收敛。一般 \([a,b]\) 由仿射变换得到。证毕。
这份证明不依赖概率论。证明完成后可把权重解释为二项分布，但该解释不承担逻辑步骤。
例题与迁移¶
例 1：保持线性¶
对 \(f(t)=2t+3\)，利用权重和与一阶矩， \(B_n(f;x)=2x+3=f(x)\)。
例 2：二次函数¶
由二阶矩，
故一致误差不超过 \(1/(4n)\)。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
权重非负且和为 1 有什么意义？
答案
输出是样本值的凸组合，不会超出样本值的最小—最大范围。
即时检验 2¶
近远分裂中哪一部分使用一致连续性？
答案
\(|k/n-x|<\delta\) 的近点部分。
习题与答案¶
习题 1¶
证明 \(\sum_kp_{n,k}(x)=1\)。
答案
应用二项式定理于 \((x+1-x)^n\)。
习题 2¶
为什么权重只在 \([0,1]\) 上保证非负？
答案
此时 \(x\) 与 \(1-x\) 均非负。
习题 3¶
证明 Bernstein 构造保持常数。
答案
常数可提出求和号，剩余权重和为 1。
习题 4¶
证明它保持 \(f(t)=t\)。
答案
使用一阶矩 \(\sum(k/n)p_{n,k}=x\)。
习题 5¶
二阶中心矩的最大值是多少？
答案
\(x(1-x)/n\le1/(4n)\)。
习题 6¶
远点权重为何可由二阶矩控制？
答案
远点上 \(1\le|k/n-x|^2/\delta^2\)。
习题 7¶
证明中的 \(n\) 是否依赖 \(x\)？
答案
不依赖，因此结论是一致收敛。
习题 8¶
Bernstein 多项式是否必须在网格点插值 \(f\)？
答案
不必须；它是加权平均而非插值构造。
习题 9¶
Weierstrass 定理对连续函数要求解析性吗？
答案
不要求，只需闭区间连续。
常见误区与后续¶
- 二项分布解释不是本证明的前提。
- 保证一致收敛不表示每个次数都接近最佳多项式。
- 下一单元把定性证明改写成连续性模与次数预算。