怎样对 Gamma、Beta 积分作带状态的可靠近似？¶

先备知识¶

熟悉端点比较界、复合 Simpson 误差界与状态式算法接口。

学习目标¶

能读取误差字段与三种状态，不把数值稳定误写成数学证书。

牵引问题¶

截断误差和有限区间求积误差怎样合成一个可靠上界？

探索与猜想¶

先解析控制被删去的端点，再由已证明的四阶导数界认证有限主部。

概念与理论¶

误差合同¶

程序把反常端点界记录为 endpoint_error_bound，把 Simpson 界记录为 quadrature_error_bound，两者相加为 total_error_bound。外部提供的四阶导数界是数学输入，程序不从采样中证明它。

from mathbook_examples.parametric_integrals import beta_integral, gamma_integral

met = gamma_integral(2.0, 1e-5, 4096, fourth_derivative_bound=10.0)
exhausted = gamma_integral(2.0, 1e-12, 2, fourth_derivative_bound=10.0)
diagnostic = beta_integral(2.0, 3.0, 1e-5, 512)

三种状态¶

• target_met：端点界与条件式求积界之和不超过目标。
• budget_exhausted：仍有有限有效总界，但面板预算不足。
• uncertified：缺少四阶导数界，只报告诊断值，不返回总误差证书。

uncertified 不等于数值错误，budget_exhausted 也不等于积分发散。

例题与迁移¶

例 1：证书达标¶

只有状态达标且总界不超过容差时才可声称满足目标。

例 2：缺失数学输入¶

诊断值可用于探索，但网格最大值不能冒充全区间导数界。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

谁证明四阶导数界？

即时检验 2¶

预算耗尽时还有界吗？

常见误区与后续¶

• 采样最大值不是全区间导数上界证书。
• 浮点舍入和外部函数求值误差不包含在解析求积界内。

习题与答案¶

习题 1¶

端点误差字段是什么？

习题 2¶

总误差字段是什么？

习题 3¶

达标状态是什么？

习题 4¶

预算不足状态是什么？

习题 5¶

缺少导数界状态是什么？

习题 6¶

未认证是否表示积分发散？

习题 7¶

预算耗尽是否没有任何界？

习题 8¶

四阶导数界可由网格猜测吗？

习题 9¶

总界怎样组成？

习题 10¶

可靠报告至少包含什么？