外测度在可测集上为何成为可数可加的测度？¶

先备知识¶

熟悉可测 σ-代数、Carathéodory 分裂和非负级数。

学习目标¶

证明外测度限制到可测集后满足可数可加性。

牵引问题¶

Carathéodory 等式怎样从切一个测试集升级为可数个集合的精确求和？

探索与猜想¶

先对有限部分并反复分裂，再让余项随部分和增长。

概念与理论¶

障碍¶

外测度次可加只给上界；等号的下界必须使用每个集合的可测性。

证明路线¶

对两两不交列先证有限部分和下界，再和次可加上界合并。

逐步证明¶

若可测 (A,B) 不交，在 (A\cup B) 上用 (A) 的分裂式：

得到有限可加。若 (E_n) 两两不交且可测，令 (S_N=\bigcup_{n\le N}E_n)、 \(S=\bigcup_{n\ge1}E_n\)。有限可加和单调性给

令 (N\to\infty)，得 (m^(S)\ge\sum_nm^(E_n))；外测度次可加给反向不等式， 因此等号成立。把 (m=m^*|_{\mathcal L}) 限制在 Lebesgue 可测 σ-代数 \(\mathcal L\) 上，就得到 Lebesgue 测度。

若 (A_n\uparrow A)，令 (D_1=A_1, D_n=A_n\setminus A_{n-1})，则 (D_n) 两两不交， 由可数可加得到从下连续：(m(A)=\lim_nm(A_n))。这里没有丢掉余项，而是把增量全部求和。

假设用在何处¶

两两不交保证有限可加无重复；可测性给精确分裂；单调性允许部分并下界。

失败边界¶

从上连续 (A_n\downarrow A) 还需某个 (m(A_n)<\infty)；无此条件会出现无穷减无穷。

例题与迁移¶

例 1：区间分割¶

半开区间 \([0,1)=\bigsqcup_{n\ge1}[1-2^{1-n},1-2^{-n})\)，测度和为几何级数 1。

例 2：递增并¶

\([-n,n]\uparrow\mathbb R\)，故 (m(\mathbb R)=\lim 2n=+\infty)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

可数可加的上界来自哪里？

即时检验 2¶

下界来自哪里？

常见误区与后续¶

• 可数可加只对两两不交列直接陈述。
• 从上连续的有限测度前提不可省略。

习题与答案¶

习题 1¶

写出两集合有限可加条件。

习题 2¶

为何部分并测度等于部分和？

习题 3¶

次可加提供哪个方向？

习题 4¶

若一项测度无穷，可数可加仍成立吗？

习题 5¶

定义 Lebesgue 测度。

习题 6¶

写出从下连续。

习题 7¶

从下连续需要有限测度吗？

习题 8¶

从上连续为何需要有限性？

习题 9¶

非不交列是否可直接求和？

习题 10¶

本单元的“余项”是什么？