Dirichlet 判别条件怎样保证逐点收敛？¶

先备知识¶

掌握 Dirichlet 核、含参振荡积分与左右极限。

学习目标¶

证明本书采用的分段光滑周期函数逐点收敛定理。

牵引问题¶

带正负振荡的 Dirichlet 核为何仍能在一点提取左右极限半和？

探索与猜想¶

先减去目标半和，剩余商在原点附近可控，远处则由高频振荡抵消。

概念与理论¶

Dirichlet 逐点收敛定理¶

若 \(f\) 为 \(2\pi\)-周期、在一周期内分段光滑，则每点左右极限存在，且

\[ \lim_{N\to\infty}S_Nf(x)=\frac{f(x-)+f(x+)}2. \]

在周期端点，左右极限必须从周期延拓两侧读取。

障碍¶

不能用 \(D_N\) 的绝对值估计；其关键恰是振荡抵消。

证明路线¶

把卷积按 \(t>0\) 与 \(t<0\) 配对，减去左右极限半和，再使用 Riemann–Lebesgue 型振荡积分引理。

逐步证明¶

由核偶性，误差可写成

\[ \frac1\pi\int_0^\pi \left[\frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x+)-f(x-)}{2\sin(t/2)}\right] \sin((N+\tfrac12)t)\,dt. \]

分段光滑保证方括号函数在 \(0\) 附近有界并分段可积。把区间有限分段，在每段上分部积分或用第 44 章 Dirichlet 型判据，振荡积分趋于 0。

假设用在何处¶

分段光滑给出有限分点、左右极限和差商可积控制；周期性处理端点识别。

失败边界¶

只假设可积不足以保证 Fourier 部分和在每一点收敛。

例题与迁移¶

例 1：连续点¶

若 \(f\) 在 \(x\) 连续，左右极限相同，部分和趋于 \(f(x)\)。

例 2：跳跃点¶

若左右极限为 \(-1,1\)，部分和在跳跃点趋于 0。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

原函数在跳跃点的单点赋值出现在哪里？

答案

不出现，结论只依赖左右极限。

即时检验 2¶

周期端点的左极限从哪里来？

答案

从前一周期末端来。

常见误区与后续¶

定理是充分条件，不宣称必要性。
点值收敛不等于一致收敛。

习题与答案¶

习题 1¶

写出定理的目标值。

答案

\((f(x-)+f(x+))/2\)。

习题 2¶

连续点如何化简？

答案

两个单侧极限都等于 \(f(x)\)。

习题 3¶

分段光滑保证什么局部量？

答案

左右极限存在且相应差商分段可积。

习题 4¶

为什么不能估计 \(\int|D_N|\)？

答案

它不一致有界，会丢失振荡抵消。

习题 5¶

证明中高频参数是什么？

答案

\(N+1/2\)。

习题 6¶

有限分段为何重要？

答案

可逐段应用分部积分或 Dirichlet 型振荡判据。

习题 7¶

可积函数是否自动满足定理条件？

答案

不满足，分段光滑更强。

习题 8¶

逐点收敛能否推出一致收敛？

答案

一般不能。

习题 9¶

端点为何要周期识别？

答案

Fourier 系列表示的是周期延拓。

习题 10¶

数值图像能替代振荡积分证明吗？

答案

不能，只显示有限阶样本。