局部线性模型怎样预测增量、误差与敏感性？¶

先备知识¶

你需要掌握一阶局部线性化

\[ f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h), \]

并会区分绝对误差与相对误差。本单元只使用一点处的可导性，不假设读者已经掌握区间上的整体导数工具。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

区分真实增量 \(\Delta y\) 与线性主部 \(dy\)；
使用线性模型估计邻近函数值；
解释导数怎样控制绝对误差的一阶传播；
定义并计算无量纲的相对敏感性；
识别一阶模型不能提供的误差保证。

牵引问题¶

测得球半径为 \(10\text{ cm}\)，仪器可能有 \(0.1\text{ cm}\) 的小误差。体积误差会大约放大多少倍？若只说“误差很小”，不同物理量的单位使这个判断无法比较。我们需要从局部线性模型中分别提取绝对误差和相对误差的尺度。

探索与猜想¶

设输入由 \(a\) 变成 \(a+h\)。真实输出增量为

\[ \Delta y=f(a+h)-f(a), \]

而可导性给出

\[ \Delta y=f'(a)h+o(h). \]

因此第一近似是

\[ \Delta y\approx f'(a)h. \]

导数的绝对值越大，同样大小的输入扰动在一阶上造成的输出扰动通常越大。但是 \(f'(a)\) 带有输出单位除以输入单位，不能直接比较不同量纲的问题。把输入、输出变化都除以各自基准值，才得到无量纲的相对敏感性。

概念与理论¶

增量、微分与线性近似¶

设 \(f\) 在 \(a\) 可导，输入增量为 \(h\)。定义

\[ \Delta y=f(a+h)-f(a) \]

为真实增量，定义

\[ dy=f'(a)h \]

为对应于输入增量 \(h\) 的微分或线性主部。于是

\[ \Delta y=dy+o(h). \]

这里 \(dy\) 不是独立于 \(h\) 的神秘小量，也不与 \(\Delta y\) 恒等。它是关于输入增量 \(h\) 的线性函数，只有在线性函数本身的情形，余项才处处为零。

函数值的局部线性近似写成

\[ f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h. \]

可导性保证近似误差相对于 \(|h|\) 的比例趋于零，却没有仅凭这一条件给出某个具体步长下的数值上界。

绝对敏感性¶

由

\[ \frac{\Delta y}{h}\to f'(a) \]

可知，当 \(h\) 足够小时，

\[ |\Delta y|\approx |f'(a)|\,|h|. \]

所以 \(|f'(a)|\) 是点 \(a\) 处的一阶绝对敏感性。若 \(f'(a)=0\)，线性模型只说明一阶主部消失，不能据此断言真实增量恒为零。

定义：相对敏感性¶

若

\[ a\ne0,\qquad f(a)\ne0, \]

定义 \(f\) 在 \(a\) 处的相对敏感性或相对条件数为

\[ \kappa_f(a) =\left|\frac{a f'(a)}{f(a)}\right|. \]

它没有量纲，用来比较“小比例输入变化”在一阶上造成的“小比例输出变化”。

定理：一阶相对误差传播¶

设 \(f\) 在 \(a\) 可导，且 \(a\ne0\)、\(f(a)\ne0\)。令 \(\Delta f=f(a+h)-f(a)\)。则

\[ \lim_{h\to0} \frac{\Delta f/f(a)}{h/a} =\frac{a f'(a)}{f(a)}. \]

等价地，

\[ \frac{\Delta f}{f(a)} =\frac{a f'(a)}{f(a)}\frac{h}{a} +o\left(\frac{h}{a}\right). \]

\(a\) 是固定非零常数；这里 \(o(h/a)\) 表示该余项除以 \(h/a\) 后趋于零。它与 “相对于输入的相对变化可以忽略”完全对应。

证明。 对 \(h\ne0\)，直接整理：

\[ \frac{\Delta f/f(a)}{h/a} =\frac{a}{f(a)} \frac{f(a+h)-f(a)}h. \]

当 \(h\to0\) 时，右侧第二个因子趋于 \(f'(a)\)，常数 \(a/f(a)\) 有定义，所以极限为 \(a f'(a)/f(a)\)。把极限关系改写成主部加高阶小量，得到第二个公式。\(\square\)

取绝对值后，\(\kappa_f(a)\) 给出相对误差放大倍数的一阶近似。它不自动给出有限步长下的严格上界；严格上界还需要邻域信息。

条件失效时该说什么¶

若 \(a=0\)，输入相对误差 \(h/a\) 没有定义，但绝对误差模型仍可使用。
若 \(f(a)=0\)，输出相对误差 \(\Delta f/f(a)\) 没有定义，也不能宣称条件数“无穷” 就完成分析。
若 \(f'(a)=0\)，相对条件数可能为零；这只表示一阶变化消失，真实误差要由更高阶结构决定。
若扰动 \(h\) 不小，局部模型可能失去解释力，必须回到原函数或取得额外误差信息。

例题与迁移¶

例题1：平方根测量的相对误差¶

对 \(f(x)=\sqrt{x}\) 和 \(a>0\)，上一单元得到

\[ f'(a)=\frac1{2\sqrt a}. \]

因此

\[ \kappa_f(a) =\left|\frac{a}{\sqrt a}\frac1{2\sqrt a}\right| =\frac12. \]

所以输入量发生约 \(1\%\) 的小相对变化时，平方根在一阶上发生约 \(0.5\%\) 的相对变化。例如

\[ \sqrt{101} \approx \sqrt{100}+\frac{1}{2\sqrt{100}}\cdot1 =10.05. \]

这里给出的是局部线性预测，不把小数结果冒充严格误差上界。

例题2：球体体积对半径的敏感性¶

球体体积为

\[ V(r)=\frac43\pi r^3,\qquad r>0. \]

由立方差展开，

\[ \frac{V(r+h)-V(r)}h =\frac43\pi\frac{(r+h)^3-r^3}{h} =\frac43\pi(3r^2+3rh+h^2). \]

令 \(h\to0\)，得到

\[ V'(r)=4\pi r^2. \]

于是

\[ \kappa_V(r) =\left|\frac{r\cdot4\pi r^2}{(4/3)\pi r^3}\right| =3. \]

半径的小相对误差会在一阶上放大为约三倍的体积相对误差。若 \(r=10\text{ cm}\)， \(h=0.1\text{ cm}\)，半径相对误差为 \(1\%\)，体积相对误差的一阶预测约为 \(3\%\)。

即时检验与回望¶

检验1：微分是否等于真实增量？¶

对 \(f(x)=x^2\)，在 \(a=3\)、\(h=0.1\) 时比较 \(dy\) 与 \(\Delta y\)。

答案

\(f'(3)=6\)，所以 \(dy=6(0.1)=0.6\)。真实增量为

\[ \Delta y=(3.1)^2-3^2=0.61. \]

两者相差 \(0.01=h^2\)。微分是线性主部，不是真实增量。

检验2：何时不能定义相对条件数？¶

对 \(f(x)=x\)，能否在 \(a=0\) 使用本单元的 \(\kappa_f(a)\)？

答案

不能，因为 \(a=0\) 且 \(f(a)=0\)，输入、输出相对误差的分母都为零。仍可使用绝对模型 \(\Delta f=h\)；不能把相对公式强行延拓到分母为零处。

习题与答案¶

习题1：倒数函数的条件数¶

对 \(f(x)=1/x\)（\(x\ne0\)），求 \(\kappa_f(a)\)。

答案

\(f'(a)=-1/a^2\)，因此

\[ \kappa_f(a) =\left|\frac{a(-1/a^2)}{1/a}\right|=1. \]

小相对输入误差在一阶上产生同样大小、方向相反的相对输出误差。

习题2：平方函数的误差放大¶

对 \(f(x)=x^2\) 和 \(a\ne0\)，求相对条件数并解释。

答案

\(f'(a)=2a\)，所以

\[ \kappa_f(a)=\left|\frac{a(2a)}{a^2}\right|=2. \]

输入的小相对误差在一阶上被放大约两倍。

习题3：导数为零¶

设 \(f(x)=1+x^2\)。在 \(a=0\) 处，线性模型能够说明什么，不能说明什么？

答案

\(f'(0)=0\)，所以线性模型给出 \(f(h)\approx1\)，即一阶主变化为零。但真实增量是 \(h^2\)，并非恒为零。由于 \(a=0\)，本单元的输入相对误差和相对条件数不适用。

习题4：摄氏温标的相对误差¶

为什么在摄氏温度接近 \(0^\circ\text{C}\) 时直接讨论“温度的百分比误差”可能没有稳定意义？

答案

相对误差要除以基准值；接近零时分母很小，在零处没有定义，而且摄氏温标的零点是人为平移得到的。此时应报告带单位的绝对误差，或根据物理问题选择有意义的尺度。

习题5：线性预测的边界¶

只知道 \(f\) 在 \(a\) 可导，能否保证对所有 \(|h|\le0.1\) 都有

\[ |f(a+h)-f(a)-f'(a)h|\le10^{-6}? \]

答案

不能。可导性只保证误差与 \(|h|\) 的比在 \(h\to0\) 时趋于零，没有给出 \(0.1\) 这个固定尺度上的统一数值界。要得到这样的证书，需要更多邻域信息和更强条件。

常见误区与后续¶

把 \(dy\) 与 \(\Delta y\) 写成恒等。 正确关系是 \(\Delta y=dy+o(h)\)。
把近似当成证书。 一阶可导性没有给出固定步长下的显式误差常数。
忽略分母条件。 相对误差要求基准输入和基准输出都非零。
只看导数绝对值。 不同量纲的问题应使用相对敏感性或明确的物理尺度比较。

第 14 章将证明复杂函数的局部线性模型怎样通过代数运算、复合和反函数传递。第 16 章将在额外光滑性下用 Taylor 余项把“高阶小量”升级为可计算误差界。