Cauchy 条件怎样不预知极限而判断收敛？¶

先备知识¶

收敛定义要先猜到 \(L\)。Cauchy 条件只比较同一尾部中的两项；实数完备性将使这种内部靠拢成为收敛的充分条件。

学习目标¶

定义 Cauchy 数列；2. 完证收敛推出 Cauchy；3. 证明 Cauchy 数列有界；4. 用 BW 子列证明反向命题。

牵引问题¶

没有候选极限时，怎样仅由项与项之间的距离判定极限存在？

探索与猜想¶

若尾部每两项相距很小，则先固定其中一项可以控制整个尾部；这给有界性。若再找到一个收敛子列，尾部内部靠拢会把其极限传播到所有项。

概念与理论¶

Cauchy 定义¶

\((a_n)\) 称为 Cauchy 数列，若任给 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\)，使

\[ m,n\ge N\quad\Longrightarrow\quad |a_m-a_n|<\varepsilon. \]

实数中的 Cauchy 收敛准则¶

定理。 实数数列收敛，当且仅当它是 Cauchy 数列。

证明（收敛 \(\Rightarrow\) Cauchy）。 设 \(a_n\to L\)。给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(N\) 使 \(n\ge N\) 时 \(|a_n-L|<\varepsilon/2\)。若 \(m,n\ge N\)，则

\[ |a_m-a_n|\le |a_m-L|+|a_n-L|<\varepsilon. \]

证明（Cauchy \(\Rightarrow\) 收敛）。 先证有界。对 \(\varepsilon=1\)，存在 \(N_0\)，使 \(m,n\ge N_0\) 时 \(|a_m-a_n|<1\)。固定 \(n=N_0\)，则 \(m\ge N_0\) 时

\[ |a_m|\le |a_{N_0}|+1. \]

先令

\[ B=\max\{|a_1|,\ldots,|a_{N_0}|\}, \qquad M=B+1. \]

这个最大值始终从至少一个数中取得，即使 \(N_0=1\) 也没有空前缀。若 \(n\le N_0\)，则 \(|a_n|\le B<M\)；若 \(n\ge N_0\)，则 \(|a_n|\le|a_{N_0}|+1\le M\)。故全列有界。由 Bolzano--Weierstrass 定理，存在子列 \(a_{n_k}\to L\)。

任给 \(\varepsilon>0\)。Cauchy 性给出 \(N_1\)，使 \(m,n\ge N_1\) 时 \(|a_m-a_n|<\varepsilon/2\)；子列收敛给出 \(K_1\)，使 \(k\ge K_1\) 时 \(|a_{n_k}-L|<\varepsilon/2\)。因 \(n_k\ge k\)，可取

\[ k\ge\max\{K_1,N_1\}, \]

从而 \(n_k\ge N_1\)。对任意 \(n\ge N_1\)，固定这样一个 \(k\)，有

\[ |a_n-L|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-L|<\varepsilon. \]

故整列 \(a_n\to L\)。\(\square\)

例题与迁移¶

例题 1：几何尾部¶

令 \(a_n=\sum_{j=0}^{n}2^{-j}\)。若 \(m>n\)，则

\[ |a_m-a_n|=\sum_{j=n+1}^{m}2^{-j}<2^{-n}. \]

给定 \(\varepsilon\)，取 \(N\) 使 \(2^{-N}<\varepsilon\)，便证明 Cauchy，因而在实数中收敛。

例题 2：调和部分和不是 Cauchy¶

令 \(h_n=\sum_{j=1}^{n}1/j\)。取 \(m=2n\)，则

\[ h_{2n}-h_n=\sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12. \]

任意尾部都可找到相距至少 \(1/2\) 的两项，所以不是 Cauchy，也不收敛。

即时检验与回望¶

有界性证明为什么要把前 \(N_0\) 项纳入最大值？

答案

Cauchy 条件只控制尾部。前 \(N_0\) 项只有有限个，取其绝对值的最大值 \(B\) 始终有定义；再用 \(M=B+1\) 同时控制有限前段与尾部。

反向证明为何只需一个收敛子列？

答案

Cauchy 性保证任意足够靠后的项都接近该子列的一项；子列又接近 \(L\)，三角不等式便把同一 \(L\) 传播到整列。

习题与答案¶

习题 1：常数拆分¶

收敛推出 Cauchy 的证明中为何使用 \(\varepsilon/2\)？

答案

三角不等式产生两项误差；各自小于 \(\varepsilon/2\) 后总和才严格小于 \(\varepsilon\)。

习题 2：\(1/n\) 的 Cauchy 性¶

直接证明 \(a_n=1/n\) 是 Cauchy 数列。

答案

若 \(m,n\ge N\)，则 \(|1/m-1/n|\le1/m+1/n\le2/N\)。取 \(N>2/\varepsilon\) 即可。

习题 3：相邻差陷阱¶

说明 \(|a_{n+1}-a_n|\to0\) 不足以推出 Cauchy。

答案

调和部分和满足 \(a_{n+1}-a_n=1/(n+1)\to0\)，但例题已证 \(a_{2n}-a_n\ge1/2\)，所以不是 Cauchy。

习题 4：Cauchy 子列¶

证明 Cauchy 数列的任意子列也是 Cauchy。

答案

给定 \(\varepsilon\)，原数列存在阈值 \(N\)。若子列位置 \(r,s\ge N\)，则指标 \(n_r,n_s\ge N\)，故 \(|a_{n_r}-a_{n_s}|<\varepsilon\)。

习题 5：两个 Cauchy 数列之和¶

证明 \((a_n)\)、\((b_n)\) 都 Cauchy 时 \((a_n+b_n)\) Cauchy。

答案

分别以 \(\varepsilon/2\) 取得阈值 \(N_a,N_b\)。当 \(m,n\ge\max\{N_a,N_b\}\) 时，两差绝对值之和小于 \(\varepsilon\)，而和数列之差不超过该和。

常见误区与后续¶

Cauchy 条件控制任意两项，不只是相邻项。
Cauchy 推有界时必须把有限前缀纳入统一界。
反向命题依赖实数完备性，具体经由 BW 定理完成；下一单元将把几何增量变成 Cauchy 证书。