常见初等函数的连续性从哪里来？¶

先备知识¶

上一单元已经证明连续函数对有限次四则运算与定义域相容的复合封闭。你还需要熟悉 多项式、有理式、绝对值不等式和根式有理化。本单元只建立以后可直接引用的代数函数 证明桥；每条结论都附带自然定义域。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 从常数函数和恒等函数推出多项式连续；
2. 证明有理函数只在分母非零处连续；
3. 直接证明绝对值函数和平方根函数连续；
4. 分解有限表达式并逐层核验定义域。

牵引问题¶

以后计算极限时，我们常希望说“这个表达式连续，所以可以取点值”。这句话必须建立在 一条已经证明的依赖链上：哪些基本函数先连续？哪些运算保持连续？根式端点是否需要 单独处理？自然定义域在哪一步进入？

探索与猜想¶

最小基本块是常数函数和恒等函数。有限次相加、相乘产生多项式；再允许分母非零处的 相除得到有理函数。绝对值可由反三角不等式直接控制。平方根在正点可用有理化，但在 零点分母估计退化，必须另选 \(\delta=\varepsilon^2\)。

概念与理论¶

引理：常数函数与恒等函数连续¶

常数函数 \(c(x)=C\) 和恒等函数 \(i(x)=x\) 在 \(\mathbb R\) 上连续。

证明。 固定 \(a\in\mathbb R\)。对常数函数， [ |c(x)-c(a)|=0, ] 所以任意 \(\delta>0\) 都有效。对恒等函数，给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)，则 [ |i(x)-i(a)|=|x-a|<\varepsilon. ] 由于 \(a\) 任意，两函数处处连续。\(\square\)

定理：多项式与有理函数的连续性¶

每个实系数多项式 [ p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n ] 在 \(\mathbb R\) 上连续。若 \(p,q\) 是多项式，则有理函数 [ r(x)=\frac{p(x)}{q(x)} ] 在其自然定义域 [ D={x\in\mathbb R:q(x)\ne0} ] 上连续。

证明。 由恒等函数连续，有限次乘法给出每个幂函数 \(x^k\) 连续；由常数倍与有限次相加，得到任意多项式连续。固定 \(a\in D\)，则 \(q(a)\ne0\)。分子、分母都在 \(a\) 连续，由商连续定理，\(p/q\) 在 \(a\) 连续。由于 \(a\) 是 \(D\) 中任意一点，有理函数在 \(D\) 上连续。\(\square\)

结论没有给分母零点补值。即使代数约分后出现更简单公式，原函数的自然定义域仍由 原表达式决定。

定理：绝对值函数连续¶

函数 \(A(x)=|x|\) 在 \(\mathbb R\) 上连续。

证明。 反三角不等式给出 [ \bigl||x|-|a|\bigr|\le |x-a|. ] 给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)。当 \(|x-a|<\delta\) 时， [ |A(x)-A(a)|=\bigl||x|-|a|\bigr|<\varepsilon. ] 所以 \(A\) 在任意 \(a\in\mathbb R\) 连续。\(\square\)

因此若 \(f\) 连续，\(|f|=A\circ f\) 也在相应点连续。

定理：平方根函数连续¶

函数 \(s(x)=\sqrt{x}\) 在自然定义域 \([0,\infty)\) 上连续。

证明。 固定 \(a\ge0\)。

若 \(a=0\)，给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon^2\)。对 \(x\ge0\)，若 \(|x|<\delta\)，则 [ |\sqrt{x}-\sqrt0|=\sqrt{x}<\varepsilon. ]

若 \(a>0\)，由有理化， [ |\sqrt{x}-\sqrt a| =\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt a} \le\frac{|x-a|}{\sqrt a} \qquad(x\ge0). ] 给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\sqrt a\)。对定义域中满足 \(|x-a|<\delta\) 的 \(x\)，有 [ |\sqrt{x}-\sqrt a|<\varepsilon. ] 两种情形覆盖所有 \(a\in[0,\infty)\)，故平方根函数在自然定义域上连续。 \(\square\)

在 \(a=0\) 不能把 \(1/\sqrt a\) 写入半径，因此分情形不是形式负担，而是端点所需。

推论：有限代数复合表达式¶

由多项式、有理函数、绝对值和平方根经过有限次四则运算与有限次复合得到的表达式， 在所有分母非零、所有根号内层值非负且每层函数有定义的点连续。

证明。 基本函数已由本单元证明连续；每一步应用四则或复合连续定理。有限步后， 最终表达式在各步定义域条件的交集上连续。\(\square\)

指数函数与对数函数的连续性可在明确引用其已建立性质时使用，但本单元不重新构造 它们。三角函数的连续性需要另一组恒等式与标准不等式，放在独立选读证明桥中。

例题与迁移¶

例题 1：含绝对值的有理函数¶

确定 [ f(x)=\frac{|x^2-1|}{x+2} ] 的连续域。

解。 \(x^2-1\) 是多项式，处处连续；绝对值与它复合后仍处处连续。分母 \(x+2\) 在 \(x=-2\) 为零，在其他点非零。由商定理，\(f\) 在 \(\mathbb R\setminus\{-2\}\) 上连续。这也是原表达式的自然定义域。

例题 2：嵌套根式的定义域¶

说明 [ g(x)=\sqrt{\,1-\sqrt{x}\,} ] 在哪些点连续。

解。 内层 \(\sqrt{x}\) 要求 \(x\ge0\)；外层根号还要求 \(1-\sqrt{x}\ge0\)，等价于 \(x\le1\)。因此自然定义域是 \([0,1]\)。 平方根、常数函数、差和复合在各自定义域上连续，所以 \(g\) 在 \([0,1]\) 上连续， 包括两个相对定义域端点。

即时检验与回望¶

即时检验 1：为什么平方根在零点单独证明？¶

即时检验 2：多项式证明为什么强调“有限次”？¶

习题与答案¶

习题 1：多项式取值¶

利用连续性求 [ \lim_{x\to2}(x^4-3x+1). ]

习题 2：有理函数的连续域¶

求 [ r(x)=\frac{x+1}{x^2-4} ] 的连续域。

习题 3：绝对值保持连续¶

若 \(f\) 在集合 \(E\) 上连续，证明 \(|f|\) 在 \(E\) 上连续。

习题 4：根式与分母的共同定义域¶

确定 [ h(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3} ] 的连续域。

习题 5：识别错误总括¶

评价说法：“只要公式由熟悉的初等符号组成，它就在全体实数上连续。”

常见误区与后续¶

• “初等函数连续”不能替代基本函数、闭包规则与定义域三部分证明。
• 有理函数只在分母非零处连续；约分不自动改变原函数定义域。
• 根式端点可能需要与内部正点不同的误差估计。
• 三角、指数和对数函数各有自己的构造或证明依赖，不应无说明地混入代数证明桥。

至此，第 10 章已建立从一点连续到连续运算、端点延拓、间断诊断与常见代数函数的 局部理论。下一章将研究闭区间如何把逐点的局部控制升级为整体结论。