积分的单调性、齐次性与可加性怎样证明？¶

先备知识¶

掌握非负积分的上确界定义与简单函数共同加细。

学习目标¶

只用当前定义建立积分代数，不预借下一章的一般收敛结果。

牵引问题¶

可加性为何不能仅凭“上确界会拆成两个上确界”？

探索与猜想¶

先控制简单函数递增列，再把 f、g 的下方逼近相加。

概念与理论¶

单调性与齐次性¶

若 0≤f≤g，则 f 的每个下方简单函数也是 g 的候选，故 ∫f≤∫g。 对 c≥0，把候选 φ 与 cφ 对应；c=0 单独按约定处理，得 ∫cf=c∫f。

递增简单函数引理¶

若 0≤ψ_n↑f 且每个 ψ_n 都是简单函数，则 ∫ψ_n↑∫f。单调性先给左极限 L≤∫f。反向固定任意简单 φ≤f 与 0<c<1，令 A_n={ψ_n≥cφ}。这些集合递增覆盖 {φ>0}；把 φ 的有限水平层分别与 A_n 相交， 由测度从下连续得 c∫φ≤L。令 c↑1，再对所有 φ 取上确界，得到 ∫f≤L。

可加性¶

取第 48 章的递增简单逼近 φ_n↑f、ψ_n↑g，则 φ_n+ψ_n↑f+g。 对简单函数用共同加细已知积分可加；再三次应用上面的受限引理，得到 \(\int(f+g)=\int f+\int g\)。这里没有循环借用一般函数列的收敛定理。

例题与迁移¶

例 1：缩放¶

若 ∫f=3，则 ∫(2f)=6；若 ∫f=+∞ 且 c>0，结果仍为 +∞。

例 2：不交集合¶

指标函数可加性退化为测度在不交集上的有限可加性。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何不能直接拆上确界？

即时检验 2¶

受限引理与下一章结果有何区别？

常见误区与后续¶

• 不把上确界当成已达到的最大值。
• 一般非负函数列的极限交换留到下一章。

习题与答案¶

习题 1¶

单调性来自什么集合包含？

习题 2¶

c=0 为何单独处理？

习题 3¶

A_n 为何递增？

习题 4¶

A_n 覆盖哪里？

习题 5¶

为何引入 c<1？

习题 6¶

哪里使用测度从下连续？

习题 7¶

简单函数和仍简单吗？

习题 8¶

可加性允许无穷积分吗？

习题 9¶

本节证明是否依赖下一章？

习题 10¶

为何该引理称“受限”？