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差商极限何时存在，何时失败？

先备知识

你需要掌握一点处导数的差商定义、单侧函数极限、绝对值和分段函数。上一单元只讨论 内点处的双侧有限导数；本单元把左右方向分开，借此诊断差商失败的不同原因。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 定义左导数、右导数和定义域端点处的相对导数；
  2. 证明双侧导数存在的单侧判别；
  3. 用定义处理绝对值与分段函数；
  4. 区分尖点、振荡和无限斜率；
  5. 说明“图像看起来有切线”为何不能代替有限极限。

牵引问题

函数 \(f(x)=|x|\) 在 \(0\) 处连续，图像也没有断裂。但从左边靠近时割线斜率为 \(-1\)，从右边靠近时为 \(1\)。连续性保证函数值接近，却不保证变化率从两侧一致。 怎样把这种差异写成可检验的判据？

探索与猜想

在 \(a=0\) 处，

\[ \frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1,&h>0,\\ -1,&h<0. \end{cases} \]

右侧差商和左侧差商各自稳定，但稳定到不同数值。由函数极限的单侧判别，我们猜想： 双侧导数存在，当且仅当两侧导数都作为有限实数存在并且相等。

需要注意，差商失败不只有“左右不等”一种方式。它还可能振荡，或者无界增大。不同失败 机制具有不同的几何表现，但在本章的定义下都意味着没有有限导数。

概念与理论

定义：左导数与右导数

设 \(f(a)\) 有定义，且 \(f\) 在 \(a\) 的右侧有定义。若有限极限

\[ f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

存在，就称它为 \(f\) 在 \(a\) 处的右导数。类似地，若 \(f\) 在 \(a\) 的左侧 有定义，则

\[ f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

称为左导数。

若 \(a\) 是定义域区间的左端点，只有右侧的定义域点能够趋近 \(a\)，此时谈右导数； 右端点则谈左导数。不能为了套用双侧公式而在定义域外虚构函数值。

定理：双侧可导的单侧判别

设 \(a\) 是函数定义区间的内点。函数 \(f\) 在 \(a\) 处可导，当且仅当 \(f'_-(a)\) 与 \(f'_+(a)\) 都存在且相等。此时

\[ f'(a)=f'_-(a)=f'_+(a). \]

证明路线。 这就是函数极限的单侧判别应用于差商函数

\[ Q_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad h\ne0. \]

必要性。 若 \(\lim_{h\to0}Q_a(h)=L\)，则双侧极限存在必推出两个单侧极限都 存在且等于 \(L\)，所以 \(f'_-(a)=f'_+(a)=L\)。

充分性。 若两个单侧极限都存在且等于同一有限数 \(L\)，给定 \(\varepsilon>0\)，分别存在 \(\delta_-,\delta_+>0\)，使

\[ -\delta_-<h<0\Longrightarrow |Q_a(h)-L|<\varepsilon, \]
\[ 0<h<\delta_+\Longrightarrow |Q_a(h)-L|<\varepsilon. \]

取 \(\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}\)。当 \(0<|h|<\delta\) 时，\(h\) 必落在 上述一种情形中，因而 \(|Q_a(h)-L|<\varepsilon\)。所以双侧差商极限为 \(L\)，即 \(f'(a)=L\)。\(\square\)

三类典型失败

尖点或折角。 两侧有限导数存在但不相等，例如 \(|x|\) 在 \(0\) 处。

振荡。 令

\[ f(x)= \begin{cases} x\sin(1/x),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]

因为 \(|f(x)|\le |x|\)，函数在 \(0\) 连续；但差商为

\[ \frac{f(h)-f(0)}h=\sin(1/h), \]

在 \(h\to0\) 时没有极限。

无限斜率。 对 \(f(x)=x^{1/3}\)，

\[ \frac{f(h)-f(0)}h =\frac{h^{1/3}}h =\frac1{|h|^{2/3}}\to+\infty. \]

图像可被描述为具有竖直切线方向，但正无穷不是实数，所以 \(f'(0)\) 在本章定义下 不存在。

这三类失败都不能简写成“函数不光滑”后就停止。判断必须回到差商到底趋于两个不同有限 值、发生振荡，还是无界。

例题与迁移

例题1：绝对值的尖点

设 \(f(x)=|x|\)。在 \(0\) 处，

\[ f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1, \qquad f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1. \]

两侧导数都是有限数，却不相等，所以 \(f'(0)\) 不存在。这个例子同时说明：函数在一点 连续，不足以推出它在该点可导。

例题2：连接点怎样调成可导？

设

\[ f(x)= \begin{cases} mx,&x<0,\\ x^2,&x\ge0. \end{cases} \]

由右支定义 \(f(0)=0\)，而左、右极限也都等于 \(0\)，所以函数在 \(0\) 连续。左差商 为 \(m\)，右差商为

\[ \frac{h^2-0}{h}=h\to0. \]

因此 \(f\) 在 \(0\) 可导当且仅当 \(m=0\)，此时 \(f'(0)=0\)。本例先由函数值与 两侧极限确认连续，再要求左右一阶变化率相同。

即时检验与回望

检验1：端点应该用哪个方向？

函数 \(f(x)=\sqrt{x}\) 的定义域为 \([0,\infty)\)。在 \(0\) 处应研究哪一种差商？

答案

只能研究 \(h\to0^+\) 的右差商，因为负步长会离开定义域。该差商为 \(1/\sqrt h\to+\infty\)，所以不存在有限右导数。

检验2：两侧都存在是否足够？

若左导数为 \(3\)，右导数为 \(3\)，能否直接得到双侧导数？

答案

若该点是定义区间内点，并且两个值都是有限实数，则可以。单侧判别给出双侧导数存在 且等于 \(3\)。

习题与答案

习题1：另一个尖点

判断 \(f(x)=|x-2|\) 在 \(x=2\) 处是否可导。

答案

令 \(h=x-2\)。差商为 \(|h|/h\)，右极限为 \(1\)，左极限为 \(-1\)。 两侧不相等，所以不可导。

习题2：端点有限右导数

函数 \(f(x)=x^2\) 限制在 \([0,1]\) 上。求它在 \(0\) 处的右导数。

答案
\[ f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{h^2}{h} =\lim_{h\to0^+}h=0. \]

这是相对定义域的端点导数，不声称存在定义域外的左导数。

习题3：振荡差商

设 \(f(0)=0\)，\(f(x)=x\cos(1/x)\)（\(x\ne0\)）。判断 \(f'(0)\) 是否存在。

答案

差商为 \(\cos(1/h)\)，当 \(h\to0\) 时振荡且无极限。因此 \(f'(0)\) 不存在，尽管 \(|f(x)|\le|x|\) 保证 \(f\) 在 \(0\) 连续。

习题4：无限斜率

为什么差商趋于 \(+\infty\) 不能记为 \(f'(a)=+\infty\)？

答案

本章把导数定义为有限实数极限，使它能够作为线性模型的实数系数。正无穷不是实数， 所以只能说差商趋于正无穷或图像有竖直方向，不能说存在本章意义下的导数。

习题5：分段参数

设

\[ f(x)= \begin{cases} ax+1,&x<0,\\ x^2+1,&x\ge0. \end{cases} \]

求使 \(f\) 在 \(0\) 可导的 \(a\)。

答案

由右支定义 \(f(0)=1\)，左、右极限也都等于 \(1\)，所以函数在 \(0\) 连续。 左差商趋于 \(a\)，右差商为 \(h\to0\)。两侧导数相等要求 \(a=0\)，此时 \(f'(0)=0\)。

常见误区与后续

  • 只检查函数值接上。 连续是可导性需要的条件之一，但连接点还必须有相同的左右 变化率。
  • 把无穷当作导数值。 无限斜率不是有限实数导数。
  • 把所有不可导都叫尖点。 左右不等、振荡和无界是不同失败机制，应由差商分别诊断。
  • 在定义域外取点。 端点只能使用定义域允许的单侧步长。

下一单元将说明：差商极限存在不仅给出一个数，还等价于函数增量具有唯一的一阶线性 主部。