怎样用切割构造一个实数？¶
先备知识¶
我们把有理数集记为 \(\mathbb Q\)。需要使用有理数的四则运算与次序，并知道：若 \(a<b\)，则两者之间还存在有理数；若 \(0\le a<b\)，则 \(a^2<b^2\)。上一单元已经证明，不存在 \(q\in\mathbb Q\) 使 \(q^2=2\)。本单元不要求解析几何或 Python 知识。
学习目标¶
完成本单元后，你应能：
- 逐条陈述并检验 Dedekind 分割的四个条件；
- 用 \(A_r=\{q\in\mathbb Q:q<r\}\) 把每个有理数 \(r\) 表成一个切割；
- 构造表示 \(\sqrt2\) 的切割，并在不预设实数存在的前提下完成验证。
牵引问题¶
上一单元的集合
把有理数分成“已经在 \(\sqrt2\) 左边”的数与其余的数。它没有最大的有理数，却又不是整个 \(\mathbb Q\)。既然没有一个有理数能充当边界，能否把这条左侧全体有理数本身看成一个新数？
这个想法的难点不在命名，而在筛选：任意有理数子集都不能代表数。例如 \(\{q\in\mathbb Q:q<0\}\cup\{1\}\) 把一个孤立点塞到左侧，不能描述一条连续的边界。Dedekind 分割正是为“像一条边界的左侧”给出的精确条件。
探索与猜想¶
设 \(r\in\mathbb Q\)，观察
它非空：\(r-1\in A_r\)；它不等于整个有理数集：\(r\notin A_r\)。只要某个数在 \(A_r\) 中，比它更小的有理数也在其中。并且 \(A_r\) 没有最大元：若 \(q<r\)，那么 \((q+r)/2\) 仍在 \(q\) 与 \(r\) 之间。
因此，一个原有的有理数并非要被丢弃；它可以由自己的“左侧有理数集合”表示。猜想是：如果一个集合和 \(A_r\) 一样具有这些边界性质，即使它不来自任何有理数，也应当被允许作为一个新数。
概念与理论¶
Dedekind 分割¶
一个 Dedekind 分割 是一个集合 \(A\subset\mathbb Q\)，满足下列四个条件：
- \(A\) 非空；
- \(A\ne\mathbb Q\)；
- 向下封闭： 若 \(q\in A\)、\(p\in\mathbb Q\) 且 \(p<q\)，则 \(p\in A\)；
- 无最大元： 对每个 \(q\in A\)，存在 \(q'\in A\) 使 \(q<q'\)。
前两条称为“真子集”条件：左侧既不能什么也没有，也不能包含一切有理数。第三条排除空洞；第四条确保边界不被一个左侧的有理数抢占。这里的 \(A\) 只由有理数构成；把它称为一个新实数，是一种构造性定义，不是事先假定某个实数已经存在。
有理数的嵌入¶
定义
探索中已说明 \(A_r\) 满足四个条件，故每个有理数都给出一个切割。并且若 \(r<s\)，则 \(A_r\subsetneq A_s\)：包含关系来自 \(q<r<s\)，而 \((r+s)/2\in A_s\setminus A_r\)。所以不同的有理数得到不同的切割，且原有的次序被保留。以后通常把 \(r\) 与 \(A_r\) 视作同一个对象；这正是“把 \(\mathbb Q\) 嵌入更大的数系”的含义。
表示 \(\sqrt2\) 的切割¶
现在定义
符号 \(A_{\sqrt2}\) 此刻只是一个便于记忆的标签，不能被理解为已经调用了某个实数 \(\sqrt2\)。严格来说，先定义的是右边的有理数集合；验证它是切割后，这个切割本身才被定义为正实数 \(\sqrt2\)。
下一步的关键不是先把它同某个 \(A_r\) 比较，而是证明右边定义的集合确实满足四个条件。完成这一点后，我们就有了一个由有理数集合定义的新对象；上一单元的无理性结论解释了为什么这个对象不能简单地用已有有理数的名字替代。
例题与迁移¶
例：\(A_{\sqrt2}\) 是一个 Dedekind 分割¶
证明集合
满足四个切割条件。
证明。
- 非空。 \(0\in A\)，因为 \(0^2<2\)。
- 不等于 \(\mathbb Q\)。 \(2\notin A\)：它不小于 \(0\)，且 \(2^2=4>2\)。
- 向下封闭。 设 \(q\in A\) 且 \(p\in\mathbb Q\)、\(p<q\)。若 \(p<0\)，则 \(p\in A\)。若 \(p\ge0\)，必有 \(q>p\ge0\)；由于 \(q\in A\)，只能是 \(q^2<2\)，而 \(0\le p<q\) 给出 \(p^2<q^2<2\)，故 \(p\in A\)。
- 无最大元。 设 \(q\in A\)。若 \(q<0\)，取 \(q'=q/2\)，则 \(q<q'<0\)，所以 \(q'\in A\)。若 \(q\ge0\)，则 \(q^2<2\)。取
$$ q'=\frac{2q+2}{q+2}. $$
这是有理数，且 \(q+2>0\)。计算得
$$ q'-q=\frac{2-q^2}{q+2}>0, \qquad 2-(q')^2=\frac{2(2-q^2)}{(q+2)^2}>0. $$
因而 \(q<q'\) 且 \((q')^2<2\)，所以 \(q'\in A\)。
四条条件均成立，\(A\) 是一个 Dedekind 分割。整个论证只在 \(\mathbb Q\) 中进行了代数与序的计算；没有把“实数 \(\sqrt2\) 已存在”当作前提。\(\square\)
迁移：诊断一个错误的“切割”¶
集合 \(B=\{q\in\mathbb Q:q\le0\}\) 乍看向下封闭，却不是切割：\(0\) 是它的最大元。集合 \(C=\{q\in\mathbb Q:q<0\}\cup\{1\}\) 也不是切割：\(1\in C\)，但 \(1/2<1\) 而 \(1/2\notin C\)，违反向下封闭。检验切割时，不可只凭图像直觉；四条条件缺一不可。
即时检验与回望¶
- 为什么 \(A_r=\{q\in\mathbb Q:q<r\}\) 没有最大元？
答案
若 \(q<r\)，有理数 \((q+r)/2\) 满足 \(q<(q+r)/2<r\)，故它仍在 \(A_r\) 中且比 \(q\) 大。因此 \(A_r\) 没有最大元。
- 集合 \(\{q\in\mathbb Q:q\le3\}\) 为什么不是 Dedekind 分割？
答案
它非空、不是整个 \(\mathbb Q\) 且向下封闭，但 \(3\) 是最大元。它违反第四条，故不是 Dedekind 分割。
- 在 \(A_{\sqrt2}\) 的验证中，为什么不能写“取 \(q'=(q+\sqrt2)/2\)”？
答案
当前正要用切割构造 \(\sqrt2\)，不能先把它当作已有实数参与运算。这会循环论证。例题中的 \(q'=(2q+2)/(q+2)\) 是由有理数 \(q\) 通过有理数运算得到的，因而合法。
回看牵引问题：切割不是一个“近似值”，而是对边界左侧全部有理数的完整记录。它既保留所有有理数，又为原本无理数的边界提供了新对象；下一单元将讨论怎样比较和运算这些对象。
习题与答案¶
ex-u-01-02-02-01¶
写出 Dedekind 分割的四个条件，并指出其中哪一条排除了“左侧边界已由有理数占据”的情形。
答案
四条是：非空、不等于 \(\mathbb Q\)、向下封闭、无最大元。第四条“无最大元”排除了边界已由一个左侧有理数占据的情形。
ex-u-01-02-02-02¶
证明：对每个 \(r\in\mathbb Q\)，集合 \(A_r=\{q\in\mathbb Q:q<r\}\) 是 Dedekind 分割。
答案
完整解答。 \(r-1\in A_r\)，故非空；\(r\notin A_r\)，故 \(A_r\ne\mathbb Q\)。若 \(q<r\) 且 \(p<q\)，则 \(p<r\)，所以向下封闭。最后，对任意 \(q<r\)，有理数 \((q+r)/2\) 满足 \(q<(q+r)/2<r\)，所以属于 \(A_r\) 且比 \(q\) 大。故 \(A_r\) 无最大元，四条条件全部成立。
ex-u-01-02-02-03¶
证明：若 \(r<s\)，则 \(A_r\subsetneq A_s\)。
答案
若 \(q\in A_r\)，则 \(q<r<s\)，故 \(q\in A_s\)，所以 \(A_r\subseteq A_s\)。又 \((r+s)/2<s\) 而 \((r+s)/2>r\)，故 \((r+s)/2\in A_s\) 但不在 \(A_r\)；包含严格。
ex-u-01-02-02-04¶
判定 \(C=\{q\in\mathbb Q:q<0\}\cup\{1\}\) 是否为 Dedekind 分割，并给出理由。
答案
不是。虽然它非空、真且无最大元的检验不能弥补其核心缺陷：\(1\in C\)，但 \(1/2<1\) 且 \(1/2\notin C\)。它不向下封闭。
ex-u-01-02-02-05¶
设 \(q\in\mathbb Q\)、\(q\ge0\) 且 \(q^2<2\)。验证 \(q'=(2q+2)/(q+2)\) 是有理数，且 \(q<q'\)、\((q')^2<2\)。
答案
分子分母均为有理数且 \(q+2>0\)，所以 \(q'\in\mathbb Q\)。直接计算
因此 \(q<q'\) 且 \((q')^2<2\)。