改变积分次序怎样化简区域与被积函数？¶

先备知识¶

掌握两类区域、投影和曲线交点。

学习目标¶

把原积分还原为区域，再沿另一方向重新写出积分限。

牵引问题¶

交换 \(dx,dy\) 的位置为何不能同时把上下限原样搬过去？

探索与猜想¶

次序改变本质上是重新描述区域：外层投影改变，内层截线也改变。

概念与理论¶

改变次序的可靠流程：

1. 从原积分写出不等式并画区域；
2. 求边界交点；
3. 选择新外变量的投影；
4. 沿新截线找左右或上下边界；
5. 若边界身份改变，按交点分片。

因此改变次序不能机械交换积分号。连续函数在同一常用区域上的两种合法累次 表示都等于同一重积分，才保证结果相等。

例题与迁移¶

例 1：三角形换序¶

\(\int_0^1\int_0^x f\,dy\,dx\) 的区域为 \(0\le y\le x\le1\)，换序得 \(\int_0^1\int_y^1f\,dx\,dy\)。

例 2：需要分片¶

若区域由 \(0\le y\le1\)、\(y^2\le x\le2-y\) 描述，换成 x-型时左右边界 对应的反函数在交点处改变，必须先求交点再分段，不能写一个虚假的统一上界。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

换序第一步是什么？

即时检验 2¶

何时需要分片？

常见误区与后续¶

• 上下限必须是外变量的函数。
• 换序不改变区域，也不改变被积函数。
• 反常表达式不能无条件套用本单元结论。

习题与答案¶

习题 1¶

把 \(\int_0^2\int_0^{x/2}f\,dy\,dx\) 换序。

习题 2¶

换序会改变积分值吗？

习题 3¶

为何要计算边界交点？

习题 4¶

原积分先 \(dy\) 后 \(dx\)，区域通常是哪一型？

习题 5¶

分片后的积分怎样组合？

习题 6¶

能否从被积函数猜新积分限？

习题 7¶

圆盘换序是否必须分片？

习题 8¶

为什么换序有时能化简计算？

习题 9¶

写出核验新积分限的一种方法。

习题 10¶

“只交换 \(dx,dy\)”错在哪里？