函数项级数怎样获得一致收敛判别？¶

先备知识¶

需要函数项级数的一致尾段判据、正项级数比较和有限分部求和。所有估计必须对 \(x\in E\) 同时成立。

学习目标¶

1. 证明 Weierstrass M 判别；
2. 区分一致绝对收敛、逐点绝对收敛与一致收敛；
3. 证明一致 Dirichlet 判别；
4. 把一致 Abel 判别归约到前一结论；
5. 识别定义域变化对一致性的影响。

牵引问题¶

数项级数的比较与抵消怎样升级为一个 \(N\) 服务所有 \(x\)？其中哪些界必须与 \(x\) 无关？

探索与猜想¶

若每项都被同一个数项 \(M_n\) 控制，数项尾部自然成为统一尾部。若依赖抵消，则振荡 部分的部分和必须对 x 一致有界，衰减因子的单调性也必须在全域同步发生。

概念与理论¶

Weierstrass M 判别¶

定理。 若存在非负数 \(M_n\) 使

则 \(\sum u_n(x)\) 在 \(E\) 上一致且一致绝对收敛。

证明。 对任意有限尾段，

右端由数项级数 Cauchy 判据趋零，故原级数一致收敛。对 \(|u_n(x)|\) 作同样估计， 得到一致绝对收敛。证毕。

逐点绝对收敛只说每个固定 \(x\) 的 \(\sum|u_n(x)|\) 收敛，其尾部位置可依赖于 \(x\)；一致绝对收敛要求绝对值级数一致收敛。它推出一致收敛，但一般的一致收敛 可以依靠抵消，并不必然一致绝对收敛。

一致 Dirichlet 判别¶

定理。 若 \(A_n(x)=\sum_{k=1}^na_k(x)\) 对 x 一致有界，即存在 \(M\) 使 \(|A_n(x)|\le M\) 对所有 \(n,x\) 成立；且对每个 \(x\)，\(b_n(x)\ge0\) 关于 \(n\) 单调递减，并且 \(b_n\to0\) 一致，则 \(\sum a_n(x)b_n(x)\) 一致收敛。

证明。 对从 \(m\) 开始的部分和重新累计，其绝对值至多 \(2M\)。有限分部求和及 单调性给出任意有限尾段绝对值不超过常数倍 \(\sup_{x\in E}b_m(x)\)，后者趋零。一致 Cauchy 判据完成证明。证毕。

一致 Abel 判别¶

若 \(\sum a_n(x)\) 一致收敛，且 \(b_n(x)\) 对每个 \(x\) 关于 \(n\) 单调，并且 \(b_n\) 对 \(n,x\) 一致有界，则 \(\sum a_n(x)b_n(x)\) 一致收敛。

证明要点是把有限分部求和应用于 \(a_n\) 的统一小尾段；单调且一致有界使 \(\sum|b_k-b_{k+1}|\) 具有与 \(x\) 无关的界。这里“一致有界”不能替换成每点有界。

例题与迁移¶

例 1：M 判别¶

在任意 \(E\) 上，若 \(|g(x)|\le1\)，则 \(\sum g(x)^n/2^n\) 被 \(\sum2^{-n}\) 控制，故一致绝对收敛。

例 2：定义域改变结论¶

\(\sum x^n\) 在 \([0,r]\)、\(r<1\) 上由 \(M_n=r^n\) 得一致收敛；在 \([0,1)\) 上虽逐点收敛，却不一致，因为尾部可在靠近 \(1\) 处任意大。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

M 判别中的 \(M_n\) 可以依赖于 \(x\) 吗？

即时检验 2¶

一致 Dirichlet 判别要求哪个部分和一致有界？

习题与答案¶

习题 1¶

判定 \(\sum\sin(nx)/n^2\) 在 \(\mathbb R\) 上的一致性。

习题 2¶

逐点绝对收敛是否自动一致收敛？

习题 3¶

一致绝对收敛为何推出一致收敛？

习题 4¶

若 \(|u_n(x)|\le1/[n(n+1)]\)，给出统一余项界。

习题 5¶

一致 Dirichlet 中仅有每个 \(x\) 的部分和有界是否足够？

习题 6¶

为什么 \(b_n\to0\) 必须一致？

习题 7¶

判定 \(\sum(-1)^nx/n\) 在 \([0,1]\) 上的一致性。

习题 8¶

M 判别失败能否推出不一致收敛？

习题 9¶

一致 Abel 判别中的一致有界用于控制什么？

习题 10¶

为何应明确写出定义域？

常见误区与后续¶

• M 判别是充分条件，不是必要条件。
• “对每点有界”不等于“存在全域共同界”。
• 下一单元用一致误差证明连续与积分交换。