第一类曲面积分怎样累积曲面上的标量分布？¶

先备知识¶

掌握曲面面积元、Riemann 重积分与参数域换元。

学习目标¶

能从曲面分割定义标量面积分，计算薄膜质量，并解释它为何是无向量。

牵引问题¶

当曲面上每点有面密度 \(\rho\) 时，怎样把“密度乘小面积”的和变成与参数无关的总质量？

探索与猜想¶

常密度 \(c\) 应给质量 \(c\,\operatorname{Area}(S)\)；因此一般密度只需在面积 Riemann 和中 加入采样值，极限自然带出面积元。

概念与理论¶

第一类曲面积分¶

设 \(S\) 有一一的分片 \(C^1\) 正则参数化 \(r:D\to S\)，\(f\) 在 \(S\) 上连续。 把曲面分成小片 \(S_i\)，定义

它不选择法向，是无向的；\(f=\rho\) 时表示曲面密度的总量，例如薄膜质量。

合法参数变换下的不变性¶

令 \(\phi:E\to D\) 为分片 \(C^1\) 双射、内部 Jacobian 非零，且边界只差零面积集。 这是合法参数变换。链式法则给新面积倍率 \(\|r_u\times r_v\|\circ\phi\,|\det D\phi|\)，参数域换元也使用 Jacobian 的绝对值，所以两边完全抵消，积分不变。取向符号因绝对值而消失。

例题与迁移¶

例 1：图形薄膜质量¶

在图形曲面 \(z=x+y\)、参数范围 \(0\le x,y\le1\) 上，面密度 \(\rho=z\)。 向上法向可取 \((-1,-1,1)\)，但第一类积分不依赖它：

例 2：半球上的标量分布¶

设 \(R>0\)。半径 \(R\) 上半球取参数范围 \(0\le\phi\le\pi/2,0\le\theta\le2\pi\)：\(\theta=0,2\pi\) 给同一条接缝， \(\phi=0\) 在北极点退化。接缝与极点都是零面积集合，故按 38.2 的 零面积边界扩展用闭子域穷竭定义积分。径向单位法向仅供几何核验。 若 \(f=z=R\cos\phi\)，则 \(\iint_S f\,dS=\pi R^3\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\iint_S1\,dS\) 是什么？

即时检验 2¶

把参数顺序交换会改变薄膜质量吗？

常见误区与后续¶

• 第一类曲面积分累积标量，不需要选取向。
• 参数化若多重覆盖，参数域公式会按重数计数。
• 下一单元把向量场与有向面积元配对，届时法向不可省略。

习题与答案¶

习题 1¶

常密度 \(c\) 的总质量是什么？

习题 2¶

单位球面上 \(\iint_S1\,dS\) 为何值？

习题 3¶

单位球面上 \(\iint_S z\,dS\) 为何为零？

习题 4¶

第一类积分为何不随法向反转改变？

习题 5¶

若密度非负，积分能否为负？

习题 6¶

两片曲面怎样合并积分？

习题 7¶

为什么要求 \(f\) 连续？

习题 8¶

参数域 Jacobian 为什么取绝对值？

习题 9¶

多重覆盖会造成什么错误？