连续性怎样把极限与函数值接起来？¶
先备知识¶
设 \(f:D\to\mathbb R\)。第 9 章已经定义了相对定义域 \(D\) 的函数极限，并证明了 Heine 序列判别。本单元把极限目标固定为函数在中心点的实际取值，因此讨论连续性时 必须先有 \(a\in D\)。绝对值仍表示实轴距离。
学习目标¶
完成本单元后，你应当能够：
- 写出一点连续和集合上连续的准确定义；
- 在极限形式与 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 形式之间转换；
- 证明并使用连续性的序列刻画；
- 分析孤立点、定义域端点和改值函数的连续性。
牵引问题¶
“当 \(x\) 靠近 \(a\) 时，\(f(x)\) 靠近某个数”只谈局部趋势。要让图像在 \(a\) 处不发生数值错接，还必须让这个趋势与函数真正取到的 \(f(a)\) 一致。怎样把这两件事 压缩成一个可验证的条件？
探索与猜想¶
考虑 [ p(x)= \begin{cases} x+1,&x\ne0,\ 0,&x=0. \end{cases} ] 去心邻域中的公式给出 \(\lim_{x\to0}p(x)=1\)，但 \(p(0)=0\)。局部趋势存在还不够； 连续性要求“极限值 = 点值”。若把 \(p(0)\) 改为 \(1\)，邻近行为不变，却修复了 中心点的连接。
概念与理论¶
定义：一点连续与集合上连续¶
设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(a\in D\)。若 [ \lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x)=f(a), ] 则称 \(f\) 在 \(a\) 连续。这里的极限相对于 \(D\) 理解。
若 \(a\) 是 \(D\) 的聚点，这一定义等价于 [ \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad |x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \tag{10.1} ] 式 (10.1) 不必写 \(0<|x-a|\)：当 \(x=a\) 时，左边是 \(0\)，结论自动成立。 反过来，从 (10.1) 删除中心点，就得到极限定义。
若 \(a\) 不是 \(D\) 的聚点，则 \(a\) 是 \(D\) 的孤立点。此时存在 \(\delta_0>0\) 使 \(D\cap(a-\delta_0,a+\delta_0)=\{a\}\)，所以 (10.1) 对任意 函数自动成立。约定函数在定义域的每个孤立点连续。
若 \(E\subseteq D\)，并且 \(f\) 在每个 \(a\in E\) 都相对于定义域 \(D\) 连续， 则称 \(f\) 在 \(E\) 上连续。注意每个点允许有自己的 \(\delta\)；这里尚未要求一个 半径同时适用于 \(E\) 的所有点。
定理：极限形式与误差形式等价¶
设 \(a\in D\) 且 \(a\) 是 \(D\) 的聚点。以下两条等价：
- \(\lim_{x\to a,\ x\in D}f(x)=f(a)\)；
- 对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使任意 \(x\in D\) 满足 \(|x-a|<\delta\) 时都有 \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)。
证明。 若 1 成立，由函数极限定义可控制所有满足 \(0<|x-a|<\delta\) 的点；中心点 \(x=a\) 又自动满足输出误差为零，故 2 成立。 若 2 成立，只需把允许点限制为 \(0<|x-a|<\delta\)，便得到以 \(f(a)\) 为目标的 函数极限定义，故 1 成立。\(\square\)
这个证明说明，连续性不是新的误差逻辑，而是把函数极限的目标锁定为点值。
定理：连续性的序列刻画¶
设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(a\in D\)。则 \(f\) 在 \(a\) 连续，当且仅当对每个 满足 [ x_n\in D,\qquad x_n\to a ] 的数列，都有 [ f(x_n)\to f(a). ]
证明。
必要性。 设 \(f\) 在 \(a\) 连续。给定 \(\varepsilon>0\)，由连续性取 \(\delta>0\)，使 \(x\in D\) 且 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)。由于 \(x_n\to a\)，存在 \(N\)，当 \(n\ge N\) 时 \(|x_n-a|<\delta\)。又 \(x_n\in D\)，所以 \(|f(x_n)-f(a)|<\varepsilon\)，即 \(f(x_n)\to f(a)\)。
充分性。 若 \(a\) 是 \(D\) 的孤立点，连续性已由定义成立。以下设 \(a\) 是 \(D\) 的聚点。取任意满足 \(x_n\in D\setminus\{a\}\)、\(x_n\to a\) 的数列。 假设给出的序列条件推出 \(f(x_n)\to f(a)\)。由第 9 章 Heine 判别， [ \lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x)=f(a), ] 所以 \(f\) 在 \(a\) 连续。\(\square\)
必要性允许数列反复取到 \(a\)；这些项的函数值正好等于 \(f(a)\)，不会造成障碍。 充分性则调用了完整的 Heine 判别，定义域条件不能删去。
例题与迁移¶
例题 1：平方函数在任意点连续¶
证明 \(f(x)=x^2\) 在任意 \(a\in\mathbb R\) 连续。
证明。 给定 \(\varepsilon>0\)。先要求 \(|x-a|<1\)，则 [ |x+a|\le |x-a|+2|a|<2|a|+1. ] 取 [ \delta=\min\left{1,\frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right}. ] 若 \(|x-a|<\delta\)，则 [ |x^2-a^2|=|x-a|\,|x+a| <\delta(2|a|+1)\le\varepsilon. ] 所以 \(x^2\) 在 \(a\) 连续。由于 \(a\) 任意，它在 \(\mathbb R\) 上连续。 \(\square\)
例题 2：点值错接与修复¶
设 [ q(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x\ne1,\ c,&x=1. \end{cases} ] 求使 \(q\) 在 \(1\) 连续的 \(c\)。
解。 当 \(x\ne1\) 时 \(q(x)=x+1\)，故 [ \lim_{x\to1}q(x)=2. ] 连续性要求该极限等于 \(q(1)=c\)，所以必须且只需 \(c=2\)。若 \(c=2\)，给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)，则对所有 \(|x-1|<\delta\)： 当 \(x=1\) 时误差为零；当 \(x\ne1\) 时 [ |q(x)-q(1)|=|x+1-2|=|x-1|<\varepsilon. ]
即时检验与回望¶
即时检验 1：为什么连续性要求 \(a\in D\)？¶
答案
连续性要比较局部极限与实际点值 \(f(a)\)。若 \(a\notin D\)，点值没有定义， 只能讨论 \(x\to a\) 时的极限，不能说 \(f\) 在 \(a\) 连续。
即时检验 2：孤立点为什么自动连续？¶
答案
若 \(a\) 是 \(D\) 的孤立点，可取 \(\delta>0\) 使半径内唯一的定义域点是 \(a\)。对所有允许的 \(x\)，必有 \(x=a\)，于是 \(|f(x)-f(a)|=0<\varepsilon\)。这对每个 \(\varepsilon>0\) 都成立。
习题与答案¶
习题 1：仿射函数¶
用定义证明 \(f(x)=mx+b\) 在任意 \(a\in\mathbb R\) 连续。
答案
若 \(m=0\)，输出差恒为零。若 \(m\ne0\)，给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon/|m|\)。当 \(|x-a|<\delta\) 时， [ |f(x)-f(a)|=|m|\,|x-a|<|m|\delta=\varepsilon. ]
习题 2：相对定义域端点¶
证明 \(f(x)=\sqrt{x}\) 在定义域 \(D=[0,\infty)\) 的点 \(0\) 连续。
答案
给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon^2\)。若 \(x\in D\) 且 \(|x|<\delta\)，则 [ |\sqrt{x}-\sqrt0|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon. ] 量词只覆盖 \(D\) 中的点，不需要处理负数。
习题 3：序列证伪¶
定义 \(f(0)=0\)，且当 \(x\ne0\) 时 \(f(x)=1\)。用序列刻画证明 \(f\) 在 \(0\) 不连续。
答案
取 \(x_n=1/n\)。则 \(x_n\in\mathbb R\)、\(x_n\to0\)，但 \(f(x_n)=1\to1\ne0=f(0)\)。存在一条趋向 \(0\) 的定义域点列破坏了必要条件， 所以 \(f\) 在 \(0\) 不连续。
习题 4：有限集上的连续性¶
设 \(D\subset\mathbb R\) 是有限集。证明任意 \(f:D\to\mathbb R\) 在 \(D\) 上连续。
答案
有限集的每个点都是孤立点。固定 \(a\in D\)。若 \(D=\{a\}\)，任取 \(\delta>0\)；否则取 [ \delta=\frac12\min{|x-a|:x\in D,\ x\ne a}>0. ] 则半径内唯一的定义域点是 \(a\)，故 \(f\) 在 \(a\) 连续。由于 \(a\) 任意， \(f\) 在 \(D\) 上连续。
习题 5：集合上连续的量词¶
设 \(f\) 在 \(E\subseteq D\) 上连续。是否必须存在一个 \(\delta>0\)，对所有 \(a\in E\) 和同一个 \(\varepsilon\) 同时有效？说明理由。
答案
不必须。一点连续的量词顺序是：先固定 \(a\)，再给定 \(\varepsilon\)，随后 选择可以依赖 \(a\) 与 \(\varepsilon\) 的 \(\delta\)。集合上连续只是要求每个 点分别满足这一条件，并未交换量词以得到统一半径。统一控制将在后续单独定义。
常见误区与后续¶
- 连续性只在定义域中的点讨论；定义域外的点只能作为极限的趋近对象。
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) 存在不代表在 \(a\) 连续，还要有 \(a\in D\) 且极限等于 \(f(a)\)。
- 集合上逐点连续允许控制半径随中心点改变。
- 序列刻画中的点列必须始终取自函数定义域。
下一单元研究连续性怎样经过有限次代数运算与函数复合传递。