Green 公式怎样从简单区域上的微积分基本定理得到？¶
先备知识¶
掌握曲线积分、累次积分、一元微积分基本定理及 x-简单、y-简单区域。
学习目标¶
能在同时 \(x\)-简单、\(y\)-简单区域逐项证明公式，并追踪法向符号。
牵引问题¶
小矩形内部的局部旋转，为什么能由整个边界的环流精确读出？
探索与猜想¶
把区域切成细条，每条上使用一元微积分基本定理；相邻细条的内部边界抵消，只留下外边界。
概念与理论¶
Green 公式¶
设有界区域 \(D\) 的边界分片 \(C^1\) 且取逆时针正向；\(P,Q\in C^1(U)\)，其中 \(U\) 是 \(\overline D\) 的一个邻域。若 \(D\) 同时为 \(x\)-简单与 \(y\)-简单，则
证明障碍¶
左侧按边界参数积分，右侧按面积积分；必须逐项把端点差与对应边界弧匹配。
证明路线¶
对 \(-P_y\) 使用 \(y\)-简单描述，对 \(Q_x\) 使用 \(x\)-简单描述，分别用一元微积分基本定理。
逐步证明¶
写 \(D=\{(x,y):a\le x\le b,\phi_-(x)\le y\le\phi_+(x)\}\)。逐项计算
这里下边从左向右、上边从右向左，正是逆时针方向。再写 \(D=\{(x,y):c\le y\le d,\psi_-(y)\le x\le\psi_+(y)\}\)，则
相加即得结论。这是对相应项分别精确适用的两种简单性；矩形细分时内部边界抵消。
假设位置¶
\(C^1\) 邻域条件保证偏导连续、累次积分合法并能在边界取值；分片 \(C^1\) 保证曲线积分存在。
边界¶
若区域只满足 x-简单或 y-简单中的一种，只能直接证明相应一项；一般区域须先有限分片，不能省略拼接论证。
法向形式¶
令正向单位切向 \(T=(T_x,T_y)\)。逆时针正向对应正外法向 \(n=(T_y,-T_x)\)，因此 \((P n_x+Q n_y)ds=P\,dy-Q\,dx\)。把切向形式用于场 \((-Q,P)\)，切向形式推出
符号来自上述正外法向/切向关系，没有偷换。
取向检查¶
沿边界行走时区域在左侧；矩形下边向右、右边向上。反向时两个边界公式都变号。
迁移¶
下一页以有限分片推广，并逐支处理洞边界方向。
例题与迁移¶
例 1：单位正方形环流¶
取 \(P=-y,Q=x\)。右侧被积函数为 \(2\)，面积为 \(1\)，故逆时针环流为 \(2\)。逐边算也得 \(2\)。
例 2：法向形式核验¶
取 \(F=(x,y)\) 与单位正方形。散度为 \(2\)，故净外通量为 \(2\)；四边中右、上各贡献 \(1\)。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
Green 公式为何要求场在闭域邻域内 \(C^1\)？
答案
为使边界取值及内部偏导连续，并合法使用基本定理和累次积分。
即时检验 2¶
边界改为顺时针，等式怎样写？
答案
左侧变号，所以右侧前加负号。
常见误区与后续¶
- 切向形式是 \(Q_x-P_y\)，法向形式是 \(P_x+Q_y\)。
- “简单区域”不是装饰；证明中两项分别调用不同截分。
- 本证明不借用更高维公式。
习题与答案¶
习题 1¶
对 \(P=0,Q=x\) 写出公式。
答案
\(\oint x\,dy=\iint_D1\,dA\)。
习题 2¶
为何上边界的 \(P\,dx\) 带负号？
答案
正向时上边界从右向左。
习题 3¶
为何右边界的 \(Q\,dy\) 带正号？
答案
正向时右边界从下向上。
习题 4¶
\(P=-y/2,Q=x/2\) 在面积 \(A\) 的区域上环流多少？
答案
\(A\)。
习题 5¶
\(F=(x,0)\) 的净外通量是多少？
答案
区域面积。
习题 6¶
正向切向与外法向的关系是什么？
答案
\(n=(T_y,-T_x)\)。
习题 7¶
只 \(y\)-简单时可直接证明哪一项？
答案
\(\iint-P_y=\oint P\,dx\)。
习题 8¶
只 \(x\)-简单时可直接证明哪一项？
答案
\(\iint Q_x=\oint Q\,dy\)。
习题 9¶
常向量场的闭路通量为何为零？
答案
散度为零，故法向形式右侧为零。
习题 10¶
若场在域内有奇点能直接套用吗？
答案
不能，违反闭域邻域内 \(C^1\) 条件。