不动点计算需要哪些可核验证书？¶
先备知识¶
压缩映射定理是一份条件式保证。程序接受的数值 \(q\) 不是自己证明出来的；调用者必须先在整个区间上完成数学审计。
学习目标¶
- 分开验证自映射、压缩常数与初值；2. 正确选择先验或后验停止界；3. 识别“小增量”不是独立证书；4. 写出可复核的证书清单。
牵引问题¶
一段迭代代码输出很多位小数。哪些事实必须在运行前证明，哪些量可以在运行中计算，才能把小数升级为带误差保证的答案？
探索与猜想¶
证书链有明确顺序：区间自映射保证轨迹合法；统一压缩常数制造几何尾和；初值必须位于区间；停止界才把某次迭代翻译成误差上界。
概念与理论¶
四层证书¶
对 \(x_{n+1}=g(x_n)\)，应逐项交付：
- 自映射： 对每个 \(x\in[a,b]\)，证明 \(a\le g(x)\le b\)；
- 压缩性： 对任意 \(x,y\in[a,b]\)，证明 \(|g(x)-g(y)|\le q|x-y|\)，其中同一个 \(0\le q<1\) 对整个区间有效；
- 初值： 明确选择 \(x_0\in[a,b]\)；
- 停止： 用已证明的 \(q\) 代入先验或后验界。
这四项不可合并。自映射不推出压缩，压缩公式若只在区间内成立也不保证区间不变。
两种停止证书¶
若运行前已知 \(d_0=|x_1-x_0|\)，先验界
可以预先选择步数。运行中得到旧增量 \(d_n=|x_n-x_{n-1}|\) 后，后验界
通常更贴近当前轨迹。两者都是上界，不声称等于真实误差。
小观测增量为何不是独立证书¶
仅有 \(|x_n-x_{n-1}|\) 很小，不能推出 \(|x_n-p|\) 小：还需要已证明的固定点存在、统一 \(q<1\) 与不变区间。慢变迭代 \(x_{n+1}=x_n/(1+x_n)\) 的相邻差会很小，但余下到零的距离可远大于该差；常值漂移的有限样本也可能暂时变化很小。
例题与迁移¶
例题 1：主案例证书清单¶
对 \(g(x)=1/(2+x)\) 取 \([0,1]\)、\(x_0=0\)。代数证明 \(g(x)\in[1/3,1/2]\subset[0,1]\)；分式差证明 \(q=1/4\)。若观测到 \(|x_n-x_{n-1}|\le3\tau\)，则
例题 2：只有自映射不够¶
\(g(x)=1-x\) 将 \([0,1]\) 映入自身，初值也可合法，但其最佳直接估计为 \(|g(x)-g(y)|=|x-y|\)，没有 \(q<1\)。因此压缩停止界不可用；除 \(x_0=1/2\) 外轨迹二周期。
即时检验与回望¶
- 程序中传入
contraction=0.25是否证明了压缩性？
答案
没有。它只是把调用者声称已证明的常数用于误差计算；证明必须覆盖区间内任意 \(x,y\)。
- 后验误差小于容差后还需要知道精确固定点吗？
答案
不需要精确值。定理已保证唯一固定点存在，后验界直接保证当前值与它的距离。
习题与答案¶
习题 1：自映射审计¶
证明 \(g(x)=(x+1)/3\) 将 \([0,1]\) 映入自身。
答案
\(0\le x\le1\) 时 \(1/3\le(x+1)/3\le2/3\)，而 \([1/3,2/3]\subseteq[0,1]\)。
习题 2：压缩常数¶
为上题给出压缩常数。
答案
\(|g(x)-g(y)|=|x-y|/3\)，所以 \(q=1/3<1\) 对全区间成立。
习题 3：初值错误¶
若证明只覆盖 \([0,1]\)，为何不能直接取 \(x_0=2\)？
答案
定理的归纳起点失败；第一步前无法保证压缩不等式或自映射结论适用于轨迹。必须另证更大区间或改选合法初值。
习题 4：先验步数条件¶
写出保证先验误差不超过 \(\tau\) 的条件。
答案
选择 \(n\) 使 \(q^n|x_1-x_0|/(1-q)\le\tau\)。当 \(q=0\) 时一步到达；当 \(0<q<1\) 时可用逐次乘 \(q\) 或对数求最小整数 \(n\)。
习题 5：反驳小步长推理¶
对 \(x_n=1/(n+1)\) 比较 \(|x_n|\) 与 \(|x_n-x_{n-1}|\)。
答案
\(|x_n|=1/(n+1)\)，而 \(|x_n-x_{n-1}|=1/(n(n+1))\)；二者比值为 \(n\)。增量可比到极限的真实距离小任意倍，故单看增量没有统一误差常数。
常见误区与后续¶
- 样本最大比值不是全区间压缩常数的证明。
- 自映射、压缩性、初值和停止界必须分别可核验。
- 小增量只有放进已证明的后验公式才是证书；下一实验室专门比较有限轨迹与定理结论。