第 28 章：Euclid 空间、极限与连续¶
一元分析把距离藏在绝对值里。进入 \(\mathbb R^n\) 后，我们必须明确向量怎样度量、 集合怎样围住一点、序列怎样趋近，以及“闭且有界”为何只在有限维中自动带来紧致性。
本章共5个核心单元，9学时（理论7.25，应用1.75）。
- 向量、内积、范数和距离怎样描述多维几何？
- 邻域、开集、闭集、内部与边界怎样组织局部和整体？
- 向量序列怎样收敛，有限维空间为什么完备？
- 紧致性为什么等价于闭且有界？
- 多元极限、连续与连通性怎样给出存在性结论？
学习路线是
\[
\text{Euclid 几何}\to\text{开闭集}\to\text{完备性}\to\text{紧致性}
\to\text{多元极限、连续与连通}.
\]
第 29 章将在这些语言之上定义 Fréchet 微分；本章不使用偏导数判断连续或极限。