绝对可积、零测集修改与积分估计怎样统一？¶
先备知识¶
掌握正负部分解、零测集完备性与非负积分的单调性。
学习目标¶
把有限积分、几乎处处等价和绝对值估计组织成统一合同。
牵引问题¶
什么时候正负面积都能安全相减，修改零测集为何不改变答案？
探索与猜想¶
因为 |f| 同时控制 f^+ 与 f^-，它应当是有限积分的正确证书。
概念与理论¶
绝对可积¶
称 f（Lebesgue）可积，若 \(\int|f|dm<\infty\)。由 |f|=f^++f^- 与非负可加性，这等价于正负部积分都有限。
零测集修改¶
若 f=g 几乎处处，则 |f-g|=0 几乎处处，上一单元的零积分判据给出 ∫|f-g|=0。由点态不等式 |f|≤|g|+|f-g| 及反向式，二者可积性一致；再分解正负部 或使用差函数，得到 ∫f=∫g。
基本估计¶
由 -|f|≤f≤|f| 和单调性，
右侧有限时，左侧是普通实数的绝对值。这是估计，不是反向等价。
例题与迁移¶
例 1：改一个点¶
在区间上任意改变一个点的函数值，不改变可积性与积分。
例 2：抵消不是绝对可积¶
大范围正负抵消可能使截断积分看似稳定，但不能替代 \(\int|f|<\infty\)。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
有限积分值是否自动推出绝对可积？
答案
在本书定义下，有限 Lebesgue 积分意味着两部分有限，因而绝对可积。
即时检验 2¶
零测集修改需要新测度吗？
答案
不需要，Lebesgue 测度的完备性已保证修改后函数可测。
常见误区与后续¶
- 绝对值估计的方向不能倒置。
- 几乎处处相等是积分理论的自然等价关系。
习题与答案¶
习题 1¶
绝对可积的定义是什么？
答案
\(\int|f|dm<\infty\)。
习题 2¶
它如何控制正部？
答案
\(0\le f^+\le|f|\)。
习题 3¶
它如何控制负部？
答案
\(0\le f^-\le|f|\)。
习题 4¶
几乎处处相等意味着差函数怎样？
答案
差函数几乎处处为零。
习题 5¶
差函数绝对值积分是多少？
答案
零。
习题 6¶
积分绝对值估计是什么？
答案
\(|\int f|\le\int|f|\)。
习题 7¶
估计来自哪个点态不等式？
答案
\(-|f|\le f\le|f|\)。
习题 8¶
改变有限多个点影响积分吗？
答案
不影响，因为有限集是零测集。
习题 9¶
几乎处处等价保持可积性吗？
答案
保持。
习题 10¶
本节为下一章准备什么？
答案
为控制收敛提供可积控制与绝对值估计。