极坐标怎样处理圆形与径向对称区域？¶

先备知识¶

掌握换元定理、三角函数和圆形区域。

学习目标¶

从坐标映射推导 \(dA=r\,dr\,d\theta\)，并检查覆盖范围。

牵引问题¶

把 \(x,y\) 换成 \(r,\theta\) 后，为什么不能只把 \(dx\,dy\) 写成 \(dr\,d\theta\)？

探索与猜想¶

半径增加相同量时，外圈扇形比内圈更宽，面积元必须随 \(r\) 增长。

概念与理论¶

极坐标映射

\[ T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta) \]

的 Jacobian 为

\[ DT=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix},\qquad \det DT=r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r. \]

因此在 \(r\ge0\) 且角度不重复覆盖的参数域上，

\[ \iint_Df(x,y)\,dA =\iint_Gf(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta. \]

原点处 Jacobian 为零，但它位于参数域边界的退化集合；不能因此忽略其他内部点的非退化检查。完整圆通常取任意长度 \(2\pi\) 的半开角度范围。

例题与迁移¶

例 1：圆盘面积¶

\[ \int_0^{2\pi}\int_0^R r\,dr\,d\theta=\pi R^2. \]

例 2：环形扇区¶

若 \(a\le r\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta\)，面积为 \((\beta-\alpha)(b^2-a^2)/2\)，角度必须用弧度。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

面积元中的 \(r\) 来自哪里？

答案

来自极坐标映射 Jacobian 行列式的绝对值。

即时检验 2¶

\(0\le\theta\le4\pi\) 有何问题？

答案

除退化边界外，圆盘被覆盖两次，积分会重复计数。

常见误区与后续¶

\(r\) 是 Jacobian 因子，不是被积函数的一部分。
同时变换区域、函数和面积元。
径向对称函数可先完成角度积分。

习题与答案¶

习题 1¶

单位圆盘面积是多少？

答案

\(\pi\)。

习题 2¶

半径 \(1\) 到 \(2\) 的圆环面积？

答案

\(3\pi\)。

习题 3¶

第一象限圆盘的角度范围？

答案

\(0\le\theta\le\pi/2\)。

习题 4¶

\(x^2+y^2\) 在极坐标中是什么？

答案

\(r^2\)。

习题 5¶

为什么角度要用弧度？

答案

三角函数导数与 Jacobian 推导按弧度成立。

习题 6¶

计算单位圆盘上 \(x^2+y^2\) 的积分。

答案

\(\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3drd\theta=\pi/2\)。

习题 7¶

极坐标在原点是否一一对应？

答案

不是，所有角度都给同一点；它作为边界退化点处理。

习题 8¶

负半径为何通常不进入标准参数域？

答案

它与角度平移 \(\pi\) 重复表示同一点，破坏一一对应。

习题 9¶

径向函数 \(g(r)\) 在圆盘上的积分通式？

答案

\(2\pi\int_0^R g(r)r\,dr\)。

习题 10¶

极坐标换元的四项核验是什么？

答案

半径范围、角度范围、覆盖次数、Jacobian 因子。