集合怎样组织数学对象？¶

先备知识¶

本单元从中学阶段已经见过的数集出发，不要求额外的高等代数、解析几何或 Python 知识。需要的是一种新的习惯：把“对象的范围”和“对象满足的条件”清楚地分开写。

约定实数集记作 \(\mathbb R\)，整数集记作 \(\mathbb Z\)。以后若不特别说明，讨论的元素都来自当前给定的全集。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

使用集合、元素、子集和集合运算陈述数学对象；
区分 \(x\in A\)、\(A\subseteq B\)、\(A=B\) 与 \(\varnothing\)；
用逐元素法证明集合恒等式，并用反例否定错误陈述。

牵引问题¶

怎样用有限的符号，准确表达下列三类对象？

一个班级中既参加合唱团又参加篮球队的同学；
满足 \(x^2<2\) 的实数；
平面上到原点距离不超过 \(1\) 的点。

它们看起来分别属于日常分类、数的条件与几何图形，但都有同一种结构：先指定对象的范围，再写出筛选条件。集合语言让这种结构可以被计算、比较和证明。

探索与猜想¶

设 \(C\) 是合唱团成员的集合，\(B\) 是篮球队成员的集合。既参加两者的同学组成 \(C\cap B\)；至少参加一个社团的同学组成 \(C\cup B\)；参加合唱团但没有参加篮球队的同学组成 \(C\setminus B\)。

同样，集合

\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<2\} \]

不是一个“公式”，而是所有满足条件的实数构成的对象。平面单位圆盘可写成

\[ D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\le1\}. \]

这些写法提示我们：同一个元素能否属于两个集合、一个集合是否完全包含在另一个集合中，都是可以精确检验的问题。

概念与理论¶

元素、子集与相等¶

集合是对象的汇集。若 \(x\) 是集合 \(A\) 的元素，写作 \(x\in A\)；若不是，写作 \(x\notin A\)。例如 \(2\in\mathbb Z\)，但 \(1/2\notin\mathbb Z\)。

若集合 \(A\) 的每个元素也都是 \(B\) 的元素，称 \(A\) 是 \(B\) 的子集，写作 \(A\subseteq B\)：

\[ A\subseteq B\quad\Longleftrightarrow\quad (\forall x)(x\in A\Rightarrow x\in B). \]

这不是 \(A\in B\)。前者比较两个集合的元素，后者说一个对象是另一个集合的元素。空集 \(\varnothing\) 没有任何元素；它是每个集合的子集，因为“不存在反例”使上面的全称命题成立。

两个集合相等的判别标准是双向包含：

\[ A=B\quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B\text{ 且 }B\subseteq A. \]

基本集合运算¶

对集合 \(A,B\)，定义

\[ \begin{aligned} A\cup B&=\{x:x\in A\text{ 或 }x\in B\},\\ A\cap B&=\{x:x\in A\text{ 且 }x\in B\},\\ A\setminus B&=\{x:x\in A\text{ 且 }x\notin B\}. \end{aligned} \]

若已固定全集 \(U\)，\(A\) 在 \(U\) 中的补集为 \(A^c=U\setminus A\)。补集一定要带着全集理解：同一个 \(A\) 放在不同的 \(U\) 中，\(A^c\) 可能不同。

两个进一步的构造是笛卡尔积与幂集：

\[ A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\},\qquad \mathcal P(A)=\{S:S\subseteq A\}. \]

有序对的顺序不能随意交换；通常 \(A\times B\ne B\times A\)。而幂集的元素本身是集合，例如 \(\{1,\{1\}\}\in\mathcal P(\{1,\{1\}\})\)：左边的两个元素 \(1\) 和 \(\{1\}\) 都属于右边幂集的底集。

逐元素法¶

证明集合相等时，最可靠的策略是取一个任意元素 \(x\)，把“\(x\) 属于左边”逐步改写为“\(x\) 属于右边”。也就是说，证明

\[ (\forall x)\bigl(x\in L\Longleftrightarrow x\in R\bigr). \]

这种方法把集合等式还原成逻辑等价，尤其适合包含补集的公式。

例题与迁移¶

例：证明 De Morgan 律¶

在同一全集 \(U\) 中，证明

\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]

证明。 任取 \(x\in U\)。按照并集与补集的定义，

\[ \begin{aligned} x\in(A\cup B)^c &\Longleftrightarrow x\notin A\cup B\\ &\Longleftrightarrow \text{并非“}x\in A\text{ 或 }x\in B\text{”}\\ &\Longleftrightarrow x\notin A\text{ 且 }x\notin B\\ &\Longleftrightarrow x\in A^c\cap B^c. \end{aligned} \]

因此任意 \(x\) 属于左边当且仅当属于右边，逐元素法给出所求集合相等。这里唯一使用的逻辑规则是“非（\(P\) 或 \(Q\)）等价于（非 \(P\)）且（非 \(Q\)）”；下一单元会系统讨论这种量词和否定的变形。

迁移：条件如何变成区域¶

令

\[ E=\{(x,y)\in\mathbb R^2:|x|\le1\},\qquad F=\{(x,y)\in\mathbb R^2:|y|\le1\}. \]

那么 \(E\cap F\) 是平面中的正方形 \([-1,1]\times[-1,1]\)。解析几何图像可以帮助猜测，但等式本身来自同一个点同时满足两条不等式。

即时检验与回望¶

设 \(A=\{n\in\mathbb Z:(\exists k\in\mathbb Z)\ n=2k\}\)。用一句话说明 \(A\) 是什么集合。
答案： 所有偶整数。量词说明“存在一个整数 \(k\) 使 \(n\) 是它的两倍”。
判断 \(\{1\}\in\mathcal P(\{1,2\})\) 是否成立。
答案： 成立，因为 \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\)。注意这不是 \(1\in\mathcal P(\{1,2\})\)。
错误等式 \(A\setminus B=B\setminus A\) 是否总成立？给出反例。
答案： 不成立。取 \(A=\{1\}\)、\(B=\{1,2\}\)，则 \(A\setminus B=\varnothing\)，而 \(B\setminus A=\{2\}\)。

回看牵引问题：花名册、实数条件与平面点集都能用集合表达；但要证明两个这样的对象相同，必须比较每一个可能的元素，而不能只看几个样本。

习题与答案¶

ex-u-01-01-01-01¶

设 \(A=\{x\in\mathbb R:x^2=1\}\)，\(B=\{-1,1\}\)。证明 \(A=B\)。

答案

完整解答。 先证 \(A\subseteq B\)。任取 \(x\in A\)，则 \(x^2=1\)，于是

\[ (x-1)(x+1)=0. \]

实数没有零因子，故 \(x=1\) 或 \(x=-1\)，即 \(x\in B\)。反过来，\(1^2=(-1)^2=1\)，所以 \(B\subseteq A\)。双向包含给出 \(A=B\)。

ex-u-01-01-01-02¶

在同一全集中证明 \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\)。

答案

任取 \(x\)。有 \(x\in(A\cap B)^c\) 当且仅当 \(x\notin A\cap B\)，当且仅当 \(x\notin A\) 或 \(x\notin B\)，当且仅当 \(x\in A^c\cup B^c\)。故两集合相等。

ex-u-01-01-01-03¶

设 \(A=\{0,1\}\)，\(B=\{a,b\}\)。写出 \(A\times B\) 与 \(B\times A\)，并说明它们为何通常不相等。

答案

\(A\times B=\{(0,a),(0,b),(1,a),(1,b)\}\)， \(B\times A=\{(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)\}\)。有序对的第一、第二位置不同；例如 \((0,a)\) 属于前者而不属于后者。

ex-u-01-01-01-04¶

给出集合相等 \(A=B\) 的充要条件，并说明为什么只验证 \(A\subseteq B\) 不够。

答案

\(A=B\) 当且仅当 \(A\subseteq B\) 且 \(B\subseteq A\)。只验证一个方向不够：\(\{1\}\subseteq\{1,2\}\)，但这两个集合不相等，因为 \(2\) 只属于后者。