被积函数有奇点时怎样判断收敛？¶

先备知识¶

掌握反常积分、距离函数、极坐标和绝对收敛。

学习目标¶

把奇点隔离后比较径向幂次，并明确变号积分的路径风险。

牵引问题¶

区域有界，但函数在一点无界；Riemann 重积分为何仍需极限？

探索与猜想¶

先从区域中挖去奇点周围的小邻域，在剩余有界区域积分，再让孔径趋零。

概念与理论¶

若 \(f\) 在 \(a\in D\) 有奇点，定义

这称为挖去邻域的极限。二维中 \(f(x)\sim\|x-a\|^{-p}\) 时，极坐标给局部 \(\int_0^\delta r^{1-p}dr\)，故 \(p<2\) 收敛，\(p\ge2\) 发散。三维阈值相应为 \(p<3\)。

若 \(\iint|f|<\infty\)，称为绝对收敛，可稳定地分片和换序。若只靠某种对称 挖孔使正负抵消，则可能存在路径风险：不同形状或不同速率靠近奇点可给不同结果。

例题与迁移¶

例 1：可积奇点¶

单位圆盘上 \(1/r\) 的积分为 \(2\pi\int_0^1dr=2\pi\)，虽在原点无界却收敛。

例 2：不可积奇点¶

单位圆盘上 \(1/r^2\) 给 \(2\pi\int_0^1dr/r\)，发散。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

二维幂奇点的临界指数是多少？

即时检验 2¶

对称主值存在是否等于绝对收敛？

常见误区与后续¶

• 先定位每个奇点，再分别挖孔。
• 极坐标面积元的 \(r\) 会改变幂次阈值。
• 数值避开奇点不等于证明反常积分收敛。

习题与答案¶

习题 1¶

二维 \(r^{-3/2}\) 在原点附近可积吗？

习题 2¶

二维 \(r^{-2}\) 呢？

习题 3¶

三维 \(r^{-5/2}\) 可积吗？

习题 4¶

为何挖孔形状要写明？

习题 5¶

多个奇点怎样处理？

习题 6¶

有界函数会产生内部奇点反常积分吗？

习题 7¶

绝对收敛的检验对象是什么？

习题 8¶

为什么有限网格可能漏掉发散？

习题 9¶

二维临界指数从哪里来？

习题 10¶

收敛审查的顺序是什么？