平均变化率怎样逼近瞬时变化率？¶

先备知识¶

你需要会计算函数极限，知道函数在一点连续的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义，并熟悉平面上两点确定的割线斜率。本单元暂不使用任何求导公式；每个导数都从差商极限出发。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

从区间平均变化率写出一点附近的差商；
用有限极限定义函数在一点的导数；
证明一点处的导数如果存在就只能有一个；
解释导数作为切线斜率与瞬时速度的意义；
从定义计算简单函数的导数。

牵引问题¶

汽车在 \(t=2\) 到 \(t=2.1\) 秒之间的平均速度可以由位移差除以时间差得到。若要问 “恰好在 \(t=2\) 秒时”的速度，我们不能把时间间隔直接取成零，因为会得到 \(0/0\)。怎样在不除以零的情况下，把越来越短时间内的平均速度变成瞬时速度？

探索与猜想¶

设位置为 \(s(t)=t^2\)。从时刻 \(a\) 到 \(a+h\) 的平均速度是

\[ \frac{s(a+h)-s(a)}{h} =\frac{(a+h)^2-a^2}{h} =2a+h,\qquad h\ne0. \]

当 \(h\to0\) 时，时间间隔始终不等于零，但平均速度趋于 \(2a\)。关键不是“令 \(h=0\)”，而是研究一族合法差商的极限。

同一结构也出现在曲线上。点 \((a,f(a))\) 与 \((a+h,f(a+h))\) 确定的割线斜率为

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

如果左右两侧的割线斜率趋向同一个有限实数，我们就得到一个不依赖具体趋近方式的局部变化率。

概念与理论¶

平均变化率与差商¶

设 \(f\) 定义在包含 \(a\) 的一个开区间上。对充分小且非零的 \(h\)，

\[ Q_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

称为 \(f\) 在 \(a\) 处、步长为 \(h\) 的差商。它是区间 \([a,a+h]\)（或 \(h<0\) 时反向区间）上的平均变化率。

定义：一点处的导数¶

若有限极限

\[ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

存在，就称 \(f\) 在 \(a\) 处可导，把该极限记为 \(f'(a)\)：

\[ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

令 \(x=a+h\)，还可写成等价形式

\[ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]

定义中的“有限”很重要。差商趋于正无穷或负无穷可以描述竖直方向的几何现象，但它不给出一个实数值导数。

定理：导数的唯一性¶

若 \(f\) 在 \(a\) 处可导，则 \(f'(a)\) 唯一。

证明障碍。 导数不是由某一个差商给出的，而是全部充分小非零步长共同决定的。唯一性必须来自极限唯一性。

证明。 假设同一个差商函数 \(Q_a(h)\) 在 \(h\to0\) 时既趋于 \(A\)，又趋于 \(B\)。若 \(A\ne B\)，取

\[ \varepsilon=\frac{|A-B|}{3}>0. \]

由两个极限，存在 \(\delta_A,\delta_B>0\)，使得当 \(0<|h|<\min\{\delta_A,\delta_B\}\) 时，

\[ |Q_a(h)-A|<\varepsilon,\qquad |Q_a(h)-B|<\varepsilon. \]

于是由三角不等式，

\[ |A-B| \le |A-Q_a(h)|+|Q_a(h)-B| <2\varepsilon =\frac{2}{3}|A-B|, \]

矛盾。因此 \(A=B\)。\(\square\)

切线与瞬时速度¶

若 \(f'(a)\) 存在，过 \((a,f(a))\) 且斜率为 \(f'(a)\) 的直线

\[ y=f(a)+f'(a)(x-a) \]

称为曲线在该点的切线。这里切线来自割线斜率的极限，不是把两个不同点“重合”后仍用两点式计算。

若 \(s(t)\) 是位置函数，则

\[ v(a)=s'(a) \]

是时刻 \(a\) 的瞬时速度。量纲也随差商相除：若 \(s\) 用米、\(t\) 用秒，则 \(s'(a)\) 的单位是米每秒。

例题与迁移¶

例题1：从定义求平方函数的导数¶

设 \(f(x)=x^2\)。对 \(h\ne0\)，

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\frac{2ah+h^2}{h} =2a+h. \]

因此

\[ f'(a)=\lim_{h\to0}(2a+h)=2a. \]

这里先约去的是合法的非零 \(h\)，然后才取极限；不能一开始把 \(h\) 换成零。

例题2：从定义求倒数函数的导数¶

设 \(f(x)=1/x\)，且 \(a\ne0\)。当 \(h\) 足够小时 \(a+h\ne0\)，于是

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\frac{\frac1{a+h}-\frac1a}{h} =-\frac1{a(a+h)}. \]

令 \(h\to0\)，得到

\[ f'(a)=-\frac1{a^2}. \]

条件 \(a\ne0\) 不只是计算方便：函数在 \(a=0\) 根本没有定义，谈不上该点导数。

即时检验与回望¶

检验1：常函数的导数¶

若 \(f(x)=c\)，从定义求 \(f'(a)\)。

答案

对任意 \(h\ne0\)，差商为

\[ \frac{c-c}{h}=0. \]

因而 \(f'(a)=0\)。结论来自全部差商恒为零，而不是只观察函数图像。

检验2：线性函数的导数¶

若 \(f(x)=mx+b\)，为什么任一点的导数都是 \(m\)？

答案

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\frac{m(a+h)+b-(ma+b)}h=m. \]

差商与 \(h\) 无关，所以其极限为 \(m\)。

习题与答案¶

习题1：立方函数¶

只用定义求 \(f(x)=x^3\) 在 \(a\) 处的导数。

答案

对 \(h\ne0\)，

\[ \frac{(a+h)^3-a^3}{h}=3a^2+3ah+h^2. \]

令 \(h\to0\)，得 \(f'(a)=3a^2\)。

习题2：仿射运动¶

位置 \(s(t)=5+3t\)，求任意时刻的瞬时速度并说明单位。

答案

差商恒为

\[ \frac{3(t+h)-3t}{h}=3. \]

因而瞬时速度恒为 \(3\)。若位置用米、时间用秒，单位为米每秒。

习题3：两种定义形式¶

说明 \(x\to a\) 形式与 \(h\to0\) 形式为何等价。

答案

令 \(h=x-a\)。则 \(x\to a\) 当且仅当 \(h\to0\)，且 \(x\ne a\) 当且仅当 \(h\ne0\)。两个差商在这个换元下完全相同。

习题4：不能直接代入¶

为什么不能在原始差商中直接令 \(h=0\)？

答案

原始差商的分母是 \(h\)，在 \(h=0\) 时没有定义。极限研究的是任意接近零但不等于零的步长；代数化简只能在 \(h\ne0\) 的合法范围内进行。

习题5：唯一性的迁移¶

有人沿正步长算得差商极限为 \(2\)，沿负步长算得极限为 \(-2\)。能否说导数有两个值？

答案

不能。双侧极限若存在必唯一。两个方向得到不同极限说明双侧差商极限不存在，因此该点不可导；下一单元将把这个判断写成单侧导数判别。

常见误区与后续¶

把极限当作代入。 差商在 \(h=0\) 处没有定义，导数由 \(h\to0\) 的极限给出。
只从一个方向观察。 内点处的双侧导数要求正、负步长给出同一个有限极限。
把割线当切线。 有限步长给出平均变化率；只有差商极限才给出本单元意义下的切线斜率。

下一单元将系统研究单侧导数，并区分尖点、振荡和无限斜率等不同失败机制。