怎样为原函数计算准备可靠的求导能力？¶

先备知识¶

第 14.1–14.4 单元已经证明和、积、商、链式、反函数及条件式隐式求导法则。本页不再重复这些证明，而是训练三件更接近实际计算的事：

先看清函数由哪些运算层组成；
在每一层调用条件满足时再使用对应法则；
对结果进行定义域检查和求导回验。

你需要会做因式分解、通分、指数与对数化简，并能区分一个公式的代数定义域和它所在的可微区间。Python 数值点检只用来发现可疑结果，不代替符号推导。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

把多层复合函数拆成由外向内的求导路径；
在一个表达式中同时处理乘积、商与链式结构；
检查分母、对数真数、根式和反函数分支；
找出错误解答中的第一个非法步骤，而不只比较最后答案；
用展开、对数求导或重新求导等独立路线回验结果。

牵引问题¶

知道每条求导法则，并不等于能可靠地对复杂函数求导。面对

\[ (x^2+1)e^{-\sin(x^2)} \]

时，必须同时识别乘积、指数复合、三角复合和平方复合；任意一层漏掉，最后结果都会错误。怎样建立一套不会随表达式变长而失控的计算流程？

探索与猜想¶

下面先做一次错误诊断。比较三个常见错误：

\[ \frac{d}{dx}e^{x^2}=e^{x^2},\qquad \frac{d}{dx}(xe^x)=e^x,\qquad \frac{d}{dx}\log(x^2-1)=\frac{2x}{x^2-1}\quad(x\in\mathbb R). \]

第一个漏掉内层导数 \(2x\)，第二个漏掉乘积法则的一项，第三个公式本身在允许的点上正确，却把定义域错误地扩大到全体实数。可靠求导必须同时回答“怎么算”和“在哪里成立”。

概念与理论¶

结构信号表¶

可见结构	求导方式	必须检查
\(F(g(x))\)	\(F'(g(x))g'(x)\)	内层导数及 \(g(x)\) 是否落在外层定义域
\(u(x)v(x)\)	\(u'v+uv'\)	两个因子在工作区间内均可导
\(u(x)/v(x)\)	\((u'v-uv')/v^2\)	\(v(x)\ne0\)
\(u(x)^{v(x)}\)	在 \(u>0\) 的区间上对数求导	底数为正及所选区间
反函数分支	原导数的倒数	分支连续且原导数非零

表格不是新的公式表，而是一张结构识别检查清单。计算前先画出运算树；计算后再从内向外核对每层因子。

四步可靠求导流程¶

第一步：确定工作区间。 先找分母零点、对数真数符号、偶次根式范围和反函数分支。一个公式可能只在若干互不相连的区间上成立。

第二步：标记最外层运算。 先判断整体是和、积、商还是复合，再递归处理内部。不要因为看见熟悉的子式就从中间开始。

第三步：保留结构再化简。 链式法则产生的内层因子、乘积法则产生的两项应先完整写出；过早约分最容易掩盖遗漏。

第四步：独立回验。 可用展开后求导、对数求导、代回特殊点或重新求导。数值点检若发现不一致，只能说明至少有一路错误；符号等式仍需数学证明。

定义域是结论的一部分¶

例如

\[ \frac{d}{dx}\log|x|=\frac1x \]

在 \((-\infty,0)\) 和 \((0,\infty)\) 上分别成立，但 \(x=0\) 不属于定义域。又如 \(\sqrt{x^2}=|x|\)，不能在负半轴把它化成 \(x\)。化简若改变了定义域或分支，后续求导即使形式漂亮也不是原问题的答案。

例题与迁移¶

例 1：拆解三层复合¶

求

\[ f(x)=e^{\sin(x^2)} \]

的导数。

从外到内依次为指数、正弦和平方。令

\[ u=x^2,\qquad v=\sin u,\qquad f=e^v. \]

于是

\[ f'(x)=e^v\cos u\cdot 2x =2x e^{\sin(x^2)}\cos(x^2). \]

指数、正弦与平方都在全体实数上有定义，所以结论对所有 \(x\in\mathbb R\) 成立。

答案

运算树是 \(x\mapsto x^2\mapsto\sin(x^2)\mapsto e^{\sin(x^2)}\)。每一条边贡献一个导数因子，因此得到

\[ 2x\cos(x^2)e^{\sin(x^2)}. \]

例 2：先找第一个非法步骤¶

有人写道：

\[ \frac{d}{dx}\log(x^2-1)=\frac{2x}{x^2-1},\qquad x\in\mathbb R. \]

链式计算没有错，第一个非法步骤是把 \(\log(x^2-1)\) 当成全体实数上的函数。实对数要求

\[ x^2-1>0, \]

所以工作域是

\[ (-\infty,-1)\cup(1,\infty). \]

导数公式只在这两个区间上成立。

答案

正确陈述为

\[ \frac{d}{dx}\log(x^2-1)=\frac{2x}{x^2-1}, \qquad x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty). \]

不能只修最后的定义域标注，还应在计算开始前写出这一条件。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

求 \(f(x)=xe^{x^2}\) 的导数，并指出乘积和链式两类贡献。

答案

乘积法则给出

\[ f'(x)=e^{x^2}+x\cdot e^{x^2}\cdot2x =e^{x^2}(1+2x^2). \]

第一项来自 \(x\) 的导数，第二项来自指数因子的链式求导。

即时检验 2¶

为什么不能把 \(\sqrt{x^2}\) 直接化成 \(x\) 后求导？

答案

因为 \(\sqrt{x^2}=|x|\)。在 \(x<0\) 时它等于 \(-x\)，导数为 \(-1\)；在 \(x>0\) 时导数为 \(1\)；在 \(x=0\) 处不可导。直接写成 \(x\) 会丢失负半轴分支和原点的不可导性。

习题与答案¶

练习 1：先化简还是先求导？¶

求

\[ f(x)=\frac{x^3-x}{x},\qquad x\ne0 \]

的导数，并保留原定义域。

答案

在 \(x\ne0\) 上 \(f(x)=x^2-1\)，所以 \(f'(x)=2x\)。虽然化简后的多项式在 \(x=0\) 也有定义，原函数没有在该点定义，因此答案仍限定为 \(x\ne0\)。

练习 2：指数复合¶

求 \(e^{3x-x^2}\) 的导数。

答案

令 \(g(x)=3x-x^2\)，则

\[ \frac{d}{dx}e^{3x-x^2}=(3-2x)e^{3x-x^2}. \]

练习 3：对数复合¶

求 \(\log(1+x^2)\) 的导数，并说明定义域。

答案

因为 \(1+x^2>0\) 对所有实数成立，

\[ \frac{d}{dx}\log(1+x^2)=\frac{2x}{1+x^2}, \qquad x\in\mathbb R. \]

练习 4：根式中的复合¶

求 \(\sin\sqrt{1+x}\) 的导数。

答案

原函数在 \(x\ge-1\) 有定义，但有限双侧导数公式适用于 \(x>-1\)：

\[ \frac{d}{dx}\sin\sqrt{1+x} =\frac{\cos\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}. \]

在端点 \(x=-1\) 不能直接使用这个有限导数公式。

练习 5：乘积与指数¶

求 \(x^2e^{-x}\) 的导数并因式分解。

答案

\[ \frac{d}{dx}(x^2e^{-x}) =2xe^{-x}-x^2e^{-x} =xe^{-x}(2-x). \]

练习 6：乘积与对数¶

求 \(x\log x\) 的导数。

答案

工作域为 \(x>0\)。乘积法则给出

\[ \frac{d}{dx}(x\log x)=\log x+1. \]

练习 7：负整数幂¶

求 \((1+x^2)^{-1}\) 的导数。

答案

\[ \frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1} =-(1+x^2)^{-2}\cdot2x =-\frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]

分母始终为正，定义域为全体实数。

练习 8：反三角函数复合¶

求 \(\arctan(2x)\) 的导数。

答案

\[ \frac{d}{dx}\arctan(2x) =\frac{2}{1+4x^2}. \]

练习 9：幂指函数¶

在 \(x>0\) 上求 \(x^x\) 的导数。

答案

令 \(y=x^x\)，则 \(\log y=x\log x\)。求导得到

\[ \frac{y'}y=\log x+1, \]

因而

\[ y'=x^x(\log x+1). \]

练习 10：已知分支的隐式求导¶

已知 \(y=y(x)\) 是满足 \(x^2+y^2=1\) 的一个可微分支，且 \(y\ne0\)。求 \(y'\)。

答案

对等式两边求导：

\[ 2x+2yy'=0. \]

因为已知 \(y\ne0\)，可得

\[ y'=-\frac{x}{y}. \]

计算没有证明分支存在；分支可微是题设。

练习 11：漏掉的链式因子¶

指出

\[ \frac{d}{dx}\sin(x^3)=\cos(x^3) \]

中的错误并改正。

答案

外层正弦求导后还要乘内层 \(x^3\) 的导数。正确结果为

\[ 3x^2\cos(x^3). \]

练习 12：两条路线回验¶

求

\[ f(x)=(x^2+1)e^{-x} \]

的导数，并验证

\[ f'(x)=e^{-x}(2x-x^2-1) \]

与乘积法则直接所得结果一致。

答案

乘积法则给出

\[ f'(x)=2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}. \]

提取 \(e^{-x}\) 后得到

\[ f'(x)=e^{-x}[2x-(x^2+1)] =e^{-x}(2x-x^2-1), \]

两种形式完全相同。

常见误区与后续¶

只背最外层公式。 多层复合的每一层都贡献因子。
先约分再忘记原定义域。 化简后的表达式可能在原来缺失的点上也有意义，但不能擅自补点。
把点检当证明。 若干数值点相同不能证明两个导数恒等。
把隐式求导当存在性定理。 它只在已经给定的可微分支上计算导数。
回验仍走同一条错误路线。 有效回验应尽量使用展开、另一种法则或独立化简。

第 18 章将反向读取本页训练过的结构：看到一个复合导数、乘积导数或有理式时，尝试恢复产生它的函数。那里会建立新的方法和条件；本页只负责正向求导、定义域检查和求导回验。