有限迭代轨迹能说明什么、不能说明什么？¶

先备知识¶

iterate_trace 只生成有限轨迹并检查数值有限性。它不接收压缩常数，也不声称固定点存在或误差获证；这一边界正是实验设计的一部分。

学习目标¶

用共享 helper 复现实验；2. 比较主压缩、二周期与慢变轨迹；3. 逐例审计定理假设；4. 不把有限观察当作证明。

牵引问题¶

三条轨迹可能都在某些步上“变化很小”。仅看表格，哪些模式可作为猜想线索，哪些结论必须回到全区间代数证明？

探索与猜想¶

运行以下可复现代码：

from mathbook_examples.fixed_point import iterate_trace

cases = {
    "contraction": (lambda x: 1 / (2 + x), 0.0),
    "two_cycle": (lambda x: 1 - x, 0.2),
    "slow": (lambda x: x / (1 + x), 1.0),
}
for name, (function, initial) in cases.items():
    values = iterate_trace(function, initial, steps=6)
    print(name, " ".join(f"{value:.6f}" for value in values))

概念与理论¶

一次可复现输出¶

案例	\(x_0\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(x_3\)	\(x_6\)
\(1/(2+x)\)	0.000000	0.500000	0.400000	0.416667	0.414201
\(1-x\)	0.200000	0.800000	0.200000	0.800000	0.200000
\(x/(1+x)\)	1.000000	0.500000	0.333333	0.250000	0.142857

表格是有限计算证据：它能揭示二周期、提示收敛速度差异、帮助检查代码；它不能证明未来全部行为。

三例假设审计¶

主压缩。 已由代数证明 \(g([0,1])\subseteq[0,1]\) 且统一 \(q=1/4\)，初值 \(0\in[0,1]\)。因此定理证明唯一固定点与收敛；表格只是展示。
二周期。 已证自映射，但 \(|g(x)-g(y)|=|x-y|\)，压缩假设未成立。表格显示的二周期还可由恒等式 \(x_{n+2}=x_n\) 对所有步严格证明。
慢变。 对 \(x_0=1\) 可由归纳证明 \(x_n=1/(n+1)\)，所以趋零；但在含 \(0\) 的区间上不存在由本章已证的不等式给出的统一 \(q<1\)。其收敛来自显式公式，不来自压缩定理。

不得用若干样本比值拟合或宣称压缩因子；压缩常数必须对区间中任意两点成立。

例题与迁移¶

例题 1：检验轨迹长度¶

steps=6 返回 7 个值，因为元组同时保留初值与 6 次函数作用。若只画 6 点会误把 \(x_0\) 丢失并错位迭代编号。

例题 2：慢变公式复核¶

若 \(x_n=1/(n+1)\)，则

\[ \frac{x_n}{1+x_n}=\frac{1/(n+1)}{1+1/(n+1)}=\frac1{n+2}=x_{n+1}. \]

初值 \(x_0=1\)，归纳成立；所以表中 \(x_6=1/7\) 不是拟合结果。

即时检验与回望¶

表格看到相邻差持续缩小，能否据此宣布存在 \(q<1\)？

答案

不能。有限轨迹只采样少数点；定理要求同一 \(q\) 控制区间内任意 \(x,y\)，必须另作代数证明。

哪个案例的非收敛可以不用继续运行就证明？

答案

\(1-x\)。恒等式 \(x_{n+2}=x_n\) 表明非固定初值永久二周期，已经覆盖所有后续步。

习题与答案¶

习题 1：共享 helper¶

为什么三例应使用同一 iterate_trace？

答案

统一“保留初值、执行相同步数、逐步拒绝非有限值”的实验契约，使差异来自数学映射而不是三套不同循环。

习题 2：索引解释¶

iterate_trace(f, x0, steps=4) 的最后一项是什么？

答案

是 \(x_4=f(x_3)\)；返回元组依次为 \((x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)\)，长度 5。

习题 3：二周期初值例外¶

\(1-x\) 在什么初值下轨迹收敛？

答案

只有 \(x_0=1/2\) 时轨迹恒为 \(1/2\)；其他初值在 \(x_0\) 与 \(1-x_0\) 间交替且两值不同。

习题 4：非有限输出¶

为何 helper 应在每一步检查输出有限？

答案

一旦出现 nan 或无穷，后续表格与差值失去本章实数迭代含义；带迭代编号的错误能定位首次失败步骤。

习题 5：证据分类¶

把“主案例 \(q=1/4\)”与“表中六步靠近 \(0.414\)”分别归类。

答案

前者来自覆盖全区间任意两点的代数不等式，是定理假设证书；后者是有限数值观察，只用于展示和提出猜想。

常见误区与后续¶

steps 是函数作用次数，轨迹长度为 steps + 1。
可复现输出不等于无限过程证明。
不从样本拟合压缩因子；后面回到尾上确界与尾下确界的严格理论。