三维散度为什么表示局部源汇密度？¶

先备知识¶

掌握三维偏导、曲面通量、小量与一阶展开。

学习目标¶

能从小长方体六个面的正外法向通量推出散度，并说明余项为何消失。

牵引问题¶

一个点附近“产生了多少流体”，怎样由包围它的小盒净流出测量？

探索与猜想¶

对面通量相减会留下各分量沿自身坐标的变化率；再除以体积，应得到局部源汇密度。

概念与理论¶

三维散度¶

对 \(F=(P,Q,R)\in C^1\)，定义三维散度

正值表示局部净流出，即源；负值表示净流入，即汇。这是源汇的数学密度解释，物理模型须另加守恒假设。

小长方体推导¶

以 \(p=(x_0,y_0,z_0)\) 为中心，边长为 \(2h,2k,2\ell\)。\(x\) 两面的正外法向分别为 \((-1,0,0)\)、\((1,0,0)\)。把面对面积分中的 \(P\) 作一致的一阶展开：

其中余项满足 \(r_x=o(h+k+\ell)\)；更准确地，积分后的余量是 \(o(hk\ell)\)。因此该对面的净流出为 \(8hk\ell P_x(p)+o(hk\ell)\)。另两对面同理，六面总净流出为

除以小长方体体积 \(8hk\ell\)，令 \(h,k,\ell\) 以有界比例趋于 \(0\)，归一化净流出趋于 \((P_x+Q_y+R_z)(p)\)。连续偏导保证面上变化引起的余项在体积归一后趋于零。

假设位置与边界¶

\(C^1\) 用于一致控制余项。散度为零只表达局部净流出密度为零，不自动给出速度场存在、质量守恒或全局通量结论。

迁移¶

下一页把这一本地计算累积成一个长方体上的精确公式。

例题与迁移¶

例 1：各向同性膨胀¶

\(F=(x,y,z)\) 时 \(\operatorname{div}F=3\)。边长 \(2a\) 的立方体每个正面通量为 \(4a^3\)，六面净流出 \(24a^3\)；除以体积 \(8a^3\) 得 \(3\)。

例 2：剪切场¶

\(F=(y,z,x)\) 的三个对角偏导均为零，故散度为零；场不恒定，但小盒净流出的一阶项相消。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(F=(2x,-y,4z)\) 的源汇密度是多少？

即时检验 2¶

为什么必须除以体积？

常见误区与后续¶

• 面的符号来自正外法向，不是坐标分量本身。
• 不能省略余项控制，也不能从有限大小盒子的比值直接宣称极限。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(F=(x^2,y^2,z^2)\) 的散度。

习题 2¶

求 \(F=(-y,x,0)\) 的散度。

习题 3¶

\(x=x_0-h\) 面的外法向是什么？

习题 4¶

\(R_z(p)=-2\) 时 \(z\) 对面的首项贡献是多少？

习题 5¶

常向量场为何没有局部源汇？

习题 6¶

散度为零是否说明场为零？

习题 7¶

余量 \(o(hk\ell)\) 除以体积后怎样？

习题 8¶

若 \(F=(ax,by,cz)\)，何时无源汇？