函数在一点附近意味着什么？¶
先备知识¶
设函数 \(f:D\to\mathbb R\)，其中 \(D\subseteq\mathbb R\) 是定义域。我们用 \(|x-a|\) 表示实轴上 \(x\) 与 \(a\) 的距离，并用开区间描述距离不等式。 本单元会反复使用绝对值与不等式以及实轴上的区间；凡是谈 \(f(x)\)，都必须先有 \(x\in D\)。
学习目标¶
完成本单元后，你应当能够：
- 定义邻域、去心邻域、左邻域、右邻域与定义域的聚点；
- 把“\(x\) 在 \(a\) 附近”改写成带定义域限制的集合条件；
- 区分点值 \(f(a)\) 与 \(a\) 附近的函数行为；
- 正确处理定义域端点、孤立点和有限采样的证明边界。
牵引问题¶
令
公式在 \(x=1\) 没有意义，但只要 \(x\in D\)，就有 \(f(x)=x+1\)。因此，当 \(x\) 向 \(1\) 靠近时，函数值似乎向 \(2\) 靠近。这里至少有三个问题： “靠近”是哪一个集合？为什么排除 \(x=1\)？若定义域在讨论点只有一侧，又该怎样说？
探索与猜想¶
一个失败的办法是列出 \(0.9,0.99,1.01,1.001\) 等若干点并观察函数值。有限采样能帮助形成猜想，却漏掉 同一窗口中的无穷多个点；即使采样值全都接近 \(2\)，也不能排除未采到的坏点。 所以有限采样不能替代证明。我们需要一个能覆盖任意小窗口、其中所有允许点的集合语言。
概念与理论¶
定义：邻域¶
给定 \(a\in\mathbb R\) 与 \(r>0\)，称
为 \(a\) 的半径 \(r\) 邻域。
定义：相对定义域与单侧邻域¶
称 [ N_r^*(a)={x\in\mathbb R:0<|x-a|<r} =N_r(a)\setminus{a} ]
为 \(a\) 的半径 \(r\) 去心邻域。
相对于定义域 \(D\)，真正允许自变量进入的集合是
左邻域与右邻域分别记为
相对于 \(D\) 的左、右去心邻域则分别是 \(D\cap N_r^-(a)\) 与 \(D\cap N_r^+(a)\)。不在 \(D\) 中的实数不能用来检验 \(f\) 的行为。
定义：定义域的聚点¶
若对每个 \(r>0\)，都有
则称 \(a\) 是 \(D\) 的聚点。注意 \(a\) 可以属于 \(D\)，也可以不属于 \(D\)。 聚点条件保证无论窗口多小，都有不同于 \(a\) 的定义域点能够靠近它。
若存在 \(r>0\) 使 \(D\cap N_r^*(a)=\varnothing\)，则 \(a\in D\) 时称为 \(D\) 的孤立点。在孤立点谈去心局部行为会变成空条件，因而不能据此定义函数极限。
点值与局部行为¶
设 \(a\) 是 \(D\) 的聚点。如果两个函数 \(f,g:D\to\mathbb R\) 在某个集合 \(D\cap N_r^*(a)\) 上相等，那么它们在 \(a\) 的去心局部行为相同。即使 \(a\in D\) 且 \(f(a)\ne g(a)\)，这一结论仍成立；点值只记录 \(x=a\) 这一点， 去心局部行为记录所有足够靠近但不等于 \(a\) 的定义域点。
定义域端点并不妨碍这种讨论。例如 \(D=[0,\infty)\) 时，\(0\) 是 \(D\) 的聚点， 但 \(D\cap N_r^-(0)=\varnothing\)；所有可用点都从右侧靠近。
例题与迁移¶
例题 1：有孔公式的去心局部化简¶
设
证明在 \(D\cap N_1^*(1)\) 上，\(f(x)=x+1\)，并说明这不定义 \(f(1)\)。
解。 对每个 \(x\in D\)，都有 \(x\ne1\)，所以可以约去非零因子：
特别地，这个等式在 \(D\cap N_1^*(1)\) 上成立。可是 \(1\notin D\)，约分只说明 原函数与 \(x+1\) 在允许的去心点上相同，并没有把 \(1\) 加入定义域，更没有给出 \(f(1)\)。
例题 2：端点处只有一侧可用¶
设 \(D=[0,\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{x}\)。描述 \(D\cap N_r^*(0)\)，并证明 \(0\) 是 \(D\) 的聚点。
解。 对任意 \(r>0\)，
该集合非空，例如 \(r/2\in(0,r)\)。因此每个去心窗口中都有定义域点，\(0\) 是 \(D\) 的聚点。与此同时，左侧交集为空，所以端点附近只能从右侧观察。
即时检验与回望¶
即时检验 1：聚点还是孤立点？¶
设 \(D=\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\}\)。证明 \(0\) 是 \(D\) 的聚点。
答案
给定任意 \(r>0\)。由 Archimedes 性质可取 \(n>1/r\)，于是 \(0<1/n<r\)。因此 \(1/n\in D\cap N_r^*(0)\)，该交集对每个 \(r>0\) 都非空， 所以 \(0\) 是 \(D\) 的聚点。
即时检验 2：改动一个点会改变什么？¶
设 \(f(x)=x^2\)，并令 \(g(x)=x^2\)（\(x\ne2\)）、\(g(2)=100\)。比较两函数在 \(2\) 的点值与去心局部行为。
答案
\(f(2)=4\)，而 \(g(2)=100\)，所以点值不同。对任意 \(r>0\)，只要 \(x\in N_r^*(2)\)，就有 \(x\ne2\)，从而 \(f(x)=g(x)=x^2\)。因此两函数在 \(2\) 的去心局部行为完全相同。
习题与答案¶
习题 1：写出去心邻域¶
把 \(N_{1/2}^*(-2)\) 写成两个开区间的并。
答案
因为 \(|x+2|<1/2\) 等价于 \(-5/2<x<-3/2\)，再排除中心点 \(-2\) 即得。
习题 2：整数集有没有有限聚点？¶
证明 \(\mathbb Z\) 在 \(\mathbb R\) 中没有聚点。
答案
任取 \(a\in\mathbb R\)。若 \(a\notin\mathbb Z\)，到最近整数的距离为某个 \(d>0\)，取 \(r=d/2\)，则 \(N_r(a)\cap\mathbb Z=\varnothing\)。若 \(a\in\mathbb Z\)，取 \(r=1/2\)，则 \(\mathbb Z\cap N_r^*(a)=\varnothing\)。两种情形都存在一个去心窗口不含整数， 所以 \(a\) 不是 \(\mathbb Z\) 的聚点。
习题 3：闭区间端点¶
设 \(D=[0,1]\)。证明 \(0\) 与 \(1\) 都是 \(D\) 的聚点，并分别指出可用方向。
答案
给定 \(r>0\)，令 \(s=\min\{r/2,1/2\}>0\)。则 \(s\in D\cap N_r^*(0)\)，故 \(0\) 是聚点，且可用点在右侧。又有 \(1-s\in D\cap N_r^*(1)\)，故 \(1\) 是 聚点，且可用点在左侧。
习题 4：同一局部行为的三个函数¶
设 \(f_c:\mathbb R\to\mathbb R\) 满足 \(f_c(x)=x+1\)（\(x\ne1\)）且 \(f_c(1)=c\)。证明任意两个 \(f_c\) 在 \(1\) 的去心局部行为相同。
答案
任取 \(c_1,c_2\in\mathbb R\)。对每个 \(x\in N_1^*(1)\)，都有 \(x\ne1\)，所以 [ f_{c_1}(x)=x+1=f_{c_2}(x). ] 它们只可能在中心点 \(1\) 取不同值，而去心局部行为不读取中心点，故结论成立。
习题 5：为什么有限检测不够？¶
给定 \(0\) 附近任意有限个非零采样点 \(S\)。构造函数 \(h\)，使 \(h(x)=0\) 对所有 \(x\in S\) 成立，但在每个 \(0\) 的去心邻域内都有点满足 \(h(x)=1\)。
答案
定义 [ h(x)= \begin{cases} 0,&x\in S,\ 1,&x\notin S. \end{cases} ] 于是所有采样点都给出 \(0\)。任给 \(r>0\)，区间 \((-r,r)\setminus(\{0\}\cup S)\) 仍非空；取其中一点 \(y\)，则 \(0<|y|<r\) 且 \(h(y)=1\)。所以有限采样即使全部一致，也不能控制窗口内的所有点。
常见误区与后续¶
- 误区 1： 把邻域理解为一张图上的模糊区域。邻域是由半径和不等式精确给出的集合。
- 误区 2： 忘记与定义域取交。局部陈述只约束 \(D\) 中的点。
- 误区 3： 认为讨论极限必须先有 \(f(a)\)。去心行为不要求中心点属于定义域。
- 误区 4： 把端点说成“不能靠近”。端点仍可成为聚点，只是允许的方向受定义域限制。
下一单元将把“每个目标误差都能由一个局部半径保证”写成严格的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义。