Cauchy 尾部判据怎样控制无限求和？¶

先备知识¶

实数完备性给出数列 Cauchy 准则：实数列收敛，当且仅当它充分靠后的任意两项都彼此接近。对部分和 \(S_n\)，差 \(S_n-S_m\) 恰好是一段有限尾和，因此可在不知道级数和的情况下判定收敛。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

陈述并证明级数的 Cauchy 尾部判据；
解释为什么要控制任意 \(n>m\ge N\)，而不只控制相邻项；
用成块尾和证明调和级数发散；
从显式尾部不等式反解 \(N\)；
区分数值平台、停止信号与严格收敛证据。

牵引问题¶

若 \(a_n\to0\)，则相邻部分和差

\[ S_n-S_{n-1}=a_n \]

趋于零。但很多很小的相邻变化能否累积成明显漂移？什么条件才真正排除这种情况？

探索与猜想¶

对 \(n>m\)，

\[ S_n-S_m=\sum_{k=m+1}^{n}a_k. \]

所以部分和是 Cauchy 数列，等价于充分靠后的任意有限尾段都很小。关键词是“任意”：尾段长度 \(n-m\) 不能预先固定，也不能只看相邻差。

概念与理论¶

级数的 Cauchy 尾部判据¶

定理。 实数项级数 \(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\) 收敛，当且仅当对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\)，使任意整数 \(n>m\ge N\) 都满足

\[ \left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\right|<\varepsilon. \]

证明。 令 \(S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\)。因为

\[ S_n-S_m=\sum_{k=m+1}^{n}a_k, \]

定理中的条件正是 \((S_n)\) 的 Cauchy 条件。若级数收敛，则部分和收敛，因而是 Cauchy 数列。反之，若任意有限尾段满足条件，则 \((S_n)\) 是 Cauchy 数列；由实数完备性，存在有限实数 \(S\) 使 \(S_n\to S\)，按定义级数收敛。证毕。

判据不要求事先知道 \(S\)，所以适合存在性证明；但它本身通常只证明“存在某个极限”，不会自动给出极限的闭式。

为什么相邻差不够¶

只令 \(n=m+1\)，Cauchy 条件退化为 \(|a_{m+1}|<\varepsilon\)，即通项趋零。真正条件还允许 \(n-m\) 任意大：无论累积多少个充分靠后的项，整段贡献都必须小。

例如 \(S_n=\log n\) 的相邻差趋零，但 \(S_{2m}-S_m\to\log2\)，所以它不是 Cauchy 数列。这正是“慢慢漂移”的原型，也说明相邻部分和差趋零不能证明收敛。

绝对尾部控制¶

三角不等式给出

\[ \left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\right| \le \sum_{k=m+1}^{n}|a_k|. \]

因此若能统一控制绝对值尾段，就能控制原尾段。第 24 章将把这个观察发展为绝对收敛理论；本章暂时只把它用作估计工具。

例题与迁移¶

例 1：调和级数的有限尾段不消失¶

考虑

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n. \]

取任意 \(m\ge1\) 并令 \(n=2m\)，则

\[ \sum_{k=m+1}^{2m}\frac1k \ge m\cdot\frac1{2m}=\frac12. \]

对 \(\varepsilon=1/3\)，无论 \(N\) 多大，取 \(m\ge N\)、\(n=2m\) 都违反 Cauchy 条件。因此调和级数发散。通项虽趋于零，任意远处仍存在至少 \(1/2\) 的成块累积。

例 2：从尾部上界反解指标¶

对几何级数 \(\sum_{k=0}^{\infty}r^k\)，\(|r|<1\)，若 \(n>m\)，则

\[ \left|\sum_{k=m+1}^{n}r^k\right| \le \sum_{k=m+1}^{\infty}|r|^k =\frac{|r|^{m+1}}{1-|r|}. \]

给定 \(\varepsilon\)，只需选择 \(N\) 使

\[ \frac{|r|^{N+1}}{1-|r|}<\varepsilon. \]

这个上界同时证明 Cauchy 条件，并提供截断预算。

例 3：不同证据能说明什么¶

观察或证明	能推出收敛吗	能给严格误差吗
\(a_n\to0\)	不能	不能
相邻部分和差很小	不能	不能
计算表出现平台	不能	不能
任意有限尾段统一趋零	能	未必有显式数值界
已证明 (	R_n	\le B_n\to0)

有限浮点表只能检查已经计算的指标，不能量化所有更远尾段。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么 \(a_n=1/n\to0\) 与调和级数发散不矛盾？

答案

通项趋零只控制长度为 1 的尾段。调和级数从 \(m+1\) 到 \(2m\) 的尾段始终至少为 \(1/2\)，不满足任意有限尾段控制。

即时检验 2¶

已知对所有 \(n>m\)，

\[ \left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\right|\le\frac3{m+1}. \]

为保证尾段小于 \(0.01\)，可取怎样的 \(N\)？

答案

需要 \(3/(N+1)<0.01\)，所以取 \(N\ge300\) 即可；若要求严格小于， \(N=300\) 给 \(3/301<0.01\)。

习题与答案¶

习题 1¶

把数列 Cauchy 条件逐字翻译成级数尾段条件。

答案

对部分和 \(S_n\)，要求任意 \(\varepsilon>0\) 存在 \(N\)，使 \(n,m\ge N\) 时 \(|S_n-S_m|<\varepsilon\)。设 \(n>m\)，差就是 \(\left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\right|\)。

习题 2¶

证明若存在 \(\delta>0\) 和任意大的 \(m<n\) 使尾段绝对值至少为 \(\delta\)，则级数发散。

答案

取 \(\varepsilon=\delta/2\)。任意候选 \(N\) 后仍能找到这样的 \(m,n\)，故 Cauchy 条件失败。

习题 3¶

用 \(m=2^j,n=2^{j+1}\) 再证调和级数发散。

答案

该块有 \(2^j\) 项，每项至少 \(1/2^{j+1}\)，所以块和至少 \(1/2\)。

习题 4¶

序列 \(S_n=\sqrt n\) 的相邻差趋于零。证明它不是 Cauchy 数列。

答案

取 \(n=4m\)，则 \(S_n-S_m=2\sqrt m-\sqrt m=\sqrt m\)，不趋于零，甚至无界。

习题 5¶

若任意 \(n>m\ge N\) 都有尾段绝对值不超过 \(2^{-m}\)，证明级数收敛。

答案

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(N\) 使 \(2^{-N}<\varepsilon\)。则 \(m\ge N\) 时 \(2^{-m}\le2^{-N}<\varepsilon\)，Cauchy 判据成立。

习题 6¶

解释为什么检查 \(S_{1000}\) 与 \(S_{1001}\) 的差不能证明级数收敛。

答案

它只检查一个相邻尾段。收敛要求对所有充分大的起点以及任意长度的尾段统一控制。

习题 7¶

对 \(\sum_{k=0}^{\infty}(1/3)^k\)，求一个保证几何尾段小于 \(10^{-4}\) 的 \(N\)。

答案

需要 \(\frac{(1/3)^{N+1}}{1-1/3}<10^{-4}\)。检查得 \(N=8\) 时上界为 \(1/(2\cdot3^8)\approx7.62\times10^{-5}\)，可用。

常见误区与后续¶

只检查相邻部分和差，而忽略任意长度尾段。
用有限计算表“看起来稳定”替代对所有后继指标的量词。
把 Cauchy 判据误解为必须先知道级数和。
从某个尾段很小推断全部尾段都小。

下一单元利用正项级数部分和单调，把 Cauchy 尾部问题转化为有上界问题，并通过比较把未知级数连接到已经掌握的基准级数。