重新参数化、反向与保守场怎样改变积分？¶

先备知识¶

掌握两类曲线积分、一元换元、梯度和连通开集中的分段光滑路径。

学习目标¶

能证明参数变化规律，识别势函数，并理解路径无关与势函数之间的逻辑关系。

牵引问题¶

何时积分只看起终点？换一种速度走、掉头走，结果分别如何变化？

探索与猜想¶

若 \(F=\nabla\Phi\)，链式法则给 \(F(r(t))\cdot r'(t)=\frac d{dt}\Phi(r(t))\)，积分似乎只剩端点差。

概念与理论¶

重参数化定理¶

设 \(q(s)=r(\phi(s))\)，其中 \(\phi\) 是端点匹配的分段 \(C^1\) 单调双射。 若只讨论积分换元，一元换元条件允许 \(\phi'\) 在个别点为零；若称 \(q\) 是与 \(r\) 同类的正则重参数化，保持正则参数化还要求 \(\phi'\) 在每个光滑段内 不为零。此时递增情形逐段有 \(\phi'>0\)，递减情形逐段有 \(\phi'<0\)。

若 \(\phi\) 递增（保向）且端点匹配，则链式法则与换元公式给

若 \(\phi\) 递减（反向），积分上下限互换，结果变号。这里积分恒等式所需的 换元条件与保持正则所需的非退化条件必须分开陈述。证明只用一元换元，不借助后续 章节公式。

势函数与路径无关¶

若域 \(D\) 上 \(F=\nabla\Phi\)，称 \(F\) 为保守场、\(\Phi\) 为势函数。链式法则和 微积分基本定理证明

所以同端点路径积分相同，即路径无关。

反过来，设 \(D\) 是连通开集，\(F:D\to\mathbb{R}^n\) 是连续向量场，任意两点可由 正文允许的分段光滑路径连接，且积分路径无关。固定 \(x_0\)，定义 \(\Phi(x)=\int_{x_0}^{x}F\cdot dr\)。对足够小的坐标线段仍留在 \(D\) 内，路径无关 允许把到 \(x+he_i\) 的路径拆成“到 \(x\)”与末段；连续性给

故 \(\nabla\Phi=F\)。这建立“路径无关 \(\Rightarrow\) 势函数”。平面闭路的偏导 判别留到第 39 章，本章不提前使用。

假设位置¶

路径无关保证从基点定义的 \(\Phi\) 不依赖所选路径；连通性保证各点可从基点到达， 开性保证点附近足够短的坐标线段仍在 \(D\) 内。\(F\) 的连续性用于让该坐标线段上 分量的平均值趋于端点值 \(F_i(x)\)，从而由差商得到 \(\partial_i\Phi(x)=F_i(x)\)。 若没有连续性，上述平均极限步骤不能直接成立，本命题的这条证明也就没有闭合。

取向检查¶

先判断参数替换递增还是递减；开放曲线还要核对起终点。势函数公式中的顺序必须是 “终点势减起点势”，反向自然变号。

例题与迁移¶

例 1：保守力做功¶

\(F=(2x,2y)=\nabla(x^2+y^2)\)。从 \((0,0)\) 到 \((1,2)\) 沿任意允许路径， 功都是 \(1^2+2^2-0=5\)。这里路径无关来自已展示的势函数。

例 2：同一路径的反向¶

若某方向从 \(A\) 到 \(B\) 的积分为 \(7\)，保向变速后仍为 \(7\)；反向从 \(B\) 到 \(A\) 为 \(-7\)。第一类曲线积分则两种情形都不变。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么定义 \(\Phi(x)\) 前必须有路径无关？

即时检验 2¶

势函数加常数会改变场或积分吗？

常见误区与后续¶

• “参数换了”不等于“方向反了”，应检查 \(\phi'\) 的单调符号；若要保持正则， 还须在每个光滑段检查 \(\phi'\) 不为零。
• 展示势函数可推出路径无关；仅凭直觉称场保守不够。
• 连通性保证基点可达，开性保证短坐标线段可用于求偏导。
• 平面闭路判别以及 Green 公式属于第 39 章以后内容，不作本章证明前提。

习题与答案¶

习题 1¶

保向重新参数化怎样影响第二类曲线积分？

习题 2¶

反向怎样影响第二类曲线积分？

习题 3¶

\(F=(1,0)\) 的一个势函数是什么？

习题 4¶

\(F=(2x,3y^2)\) 从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的积分是多少？

习题 5¶

闭路上的保守场积分是多少？

习题 6¶

路径无关怎样保证 \(\Phi\) 良定义？

习题 7¶

证明路径无关推出势函数时，开性用在哪里？

习题 8¶

连通性用在哪里？

习题 9¶

势函数为何只确定到常数？

习题 10¶

第一类曲线积分反向时为何不变？