区间长度应满足哪些基本性质？¶

先备知识¶

熟悉集合、区间、有限并与 Riemann 分割。

学习目标¶

把“长度”从图形直觉改写成可检验的数学合同。

牵引问题¶

如果长度要扩张到复杂集合，哪些区间性质绝不能丢？

探索与猜想¶

端点差应当决定长度；平移不变和有限可加保证切开再拼回应给出同一结果。

概念与理论¶

障碍¶

对区间写 \(b-a\) 很容易，但它还没有告诉我们复杂集合怎样取长度。

证明路线¶

先冻结区间合同，再把扩张问题留给覆盖下确界。

逐步证明¶

对有界区间 (I)，不论端点是否包含，定义区间长度

它满足非负性、归一化 \(\ell([0,1])=1\)、平移不变 \(\ell(I+t)=\ell(I)\)。若 (a<b<c)，则

反复使用即得首尾相接的有限个区间的有限可加性。端点本身不改变端点差，但这尚未证明 单点在未来的测度中为零。

假设用在何处¶

区间有界保证端点差有限；首尾相接保证没有正长度重叠。

失败边界¶

有限可加没有控制无限个区间。\((0,1)=\bigcup_{n\ge2}[1/n,1/(n-1))\) 已要求可数求和。

例题与迁移¶

例 1：平移¶

\(ell([-2,3])=5=\ell([8,13])\)。位置不应影响长度。

例 2：分割¶

任意分割 (a=x_0<\cdots<x_m=b) 满足 \(\sum_i(x_i-x_{i-1})=b-a\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

开闭端点为何不改变区间长度？

即时检验 2¶

有限可加为什么不够？

常见误区与后续¶

• 端点差是区间合同，不是任意集合的定义。
• 下一单元用覆盖把区间长度扩张为所有集合都有定义的外测度。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \((-3,4]\) 的长度。

习题 2¶

写出单位区间归一化。

习题 3¶

证明平移不变。

习题 4¶

把 \([0,5]\) 在 2 处分开并核对长度。

习题 5¶

有限可加允许区间内部有正长度重叠吗？

习题 6¶

空集应取什么长度？

习题 7¶

长度能否为负？

习题 8¶

端点差能直接定义两个不相交区间之并吗？

习题 9¶

说明 \([0,1]\) 与 \((0,1)\) 的区间长度相同。

习题 10¶

本单元是否已证明单点长度为零？