正则参数曲面怎样产生切平面、法向量与取向？¶

先备知识¶

会求二元向量函数偏导，理解线性无关、叉积和第 31 章的局部参数化。

学习目标¶

能从图形曲面进入一般参数曲面，求切平面与法向量，并检查局部法向能否拼成全局取向。

牵引问题¶

参数域中的两条坐标线在空间中给出哪两个方向？何时它们真正张成一张局部曲面？

探索与猜想¶

对图形曲面 \(r(x,y)=(x,y,f(x,y))\)，有 \(r_x=(1,0,f_x),r_y=(0,1,f_y)\)，二者从不共线；叉积 \((-f_x,-f_y,1)\) 正是熟悉的向上法向。

概念与理论¶

正则参数曲面¶

设 \(D\subset\mathbb R^2\)，\(r:D\to\mathbb R^3\) 为 \(C^1\) 映射。若每点的 \(r_u,r_v\) 线性无关，即 \(r_u\times r_v\ne0\)，则称 \(r\) 为正则参数曲面。 其切平面是 \(r(u,v)+\operatorname{span}\{r_u,r_v\}\)，局部法向量可取 \(r_u\times r_v\)。分片曲面允许有限个正则曲面片沿边界拼接。

若连续单位法向 \(n\) 能在整张曲面上选择，曲面称全局可定向；单个曲面片总有 局部法向，但这不自动推出全局可定向。隐式曲面 \(G=0\) 在具有非零梯度时， \(\nabla G\ne0\) 处只用 \(\nabla G\) 造局部法向，不发展抽象理论。

取向检查¶

交换参数 \(u,v\) 会把 \(r_u\times r_v\) 变为其相反向量。每次计算先写参数范围， 再算叉积，最后用“向上、向外”等几何条件决定是否取反。

例题与迁移¶

例 1：抛物面的向上取向¶

\(r(x,y)=(x,y,x^2+y^2)\)，参数范围 \(x^2+y^2<1\)。 \(r_x\times r_y=(-2x,-2y,1)\ne0\)，故正则；第三分量为正，已是向上法向。

例 2：球面的局部参数片¶

\(r(\phi,\theta)=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi)\)， \(0<\phi<\pi,0<\theta<2\pi\)。叉积非零且与径向平行；极点需另换曲面片， 但球面可把各片法向统一选为向外，因而全局可定向。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(r(u,v)=(u,v,uv)\) 是否正则？

即时检验 2¶

为什么 \(r(u,v)=(u^2,v,0)\) 在 \(u=0\) 退化？

常见误区与后续¶

• 曲面像看起来光滑，不代表给定参数化正则。
• 局部法向存在，不等于能连续选择全局取向。
• 下一单元由局部线性化推导面积元，不把叉积模当作口诀。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(z=x+y\) 的向上法向。

习题 2¶

求上题在原点的切平面。

习题 3¶

圆柱 \(r=(\cos u,\sin u,v)\) 是否正则？

习题 4¶

交换圆柱参数后法向如何变化？

习题 5¶

\(x^2+y^2+z^2=1\) 的局部法向是什么？

习题 6¶

隐式法向在哪些点失效？

习题 7¶

正则性是否要求参数化单射？

习题 8¶

分片曲面为何允许棱边？