局部估计怎样传递极限？¶

先备知识¶

本单元把数列极限中的误差分配方法迁移到函数的去心邻域。你需要熟练使用 分式运算、绝对值不等式与实轴距离，并能从 \(\lim_{x\to a}f(x)=A\) 写出对应的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 条件。 所有函数都只在共同定义域中有意义；相加、相乘、相除或复合之前，必须先核对相应 表达式在足够小的去心邻域内有定义。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 从有限极限证明局部有界性与最终保号；
2. 完整证明保序定理与夹逼定理；
3. 通过误差分配证明和、积、商的极限法则；
4. 在明确中间值定义域条件的前提下证明复合极限法则。

牵引问题¶

若 \(f(x)\to A\)、\(g(x)\to B\)，为什么不能只写“把 \(x=a\) 代入”？ 以乘积为例， [ |f(x)g(x)-AB| \le |f(x)-A|\,|g(x)|+|A|\,|g(x)-B|. ] 即使两个误差都小，第一项还含有 \(|g(x)|\)。证明必须先建立一个共同局部窗口， 并在其中给 \(|g(x)|\) 找到固定上界。

探索与猜想¶

一个失败的尝试是把 \(|f-A|<\varepsilon\)、\(|g-B|<\varepsilon\) 直接代入所有代数式。这样会漏掉 系数，也没有保证两个估计在同一个 \(x\) 上同时成立。可行策略分三步：

1. 先从极限提取局部有界或远离零等辅助信息；
2. 给不同误差项分配预算；
3. 把所有半径取最小值，得到一个共同证书。

概念与理论¶

以下各结论均设 \(a\) 是相关定义域的聚点，所有局部不等式都只要求在定义域与某个 去心邻域的交集中成立。

引理：有限极限推出局部有界¶

若 \(\lim_{x\to a}f(x)=A\in\mathbb R\)，则存在 \(\delta_0>0\) 与 \(M>0\)，使 [ x\in D,\quad 0<|x-a|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|\le M. ]

证明。 在极限定义中取目标误差 \(1\)，得到 \(\delta_0>0\)，使 \(|f(x)-A|<1\)。于是 [ |f(x)|\le |f(x)-A|+|A|<|A|+1. ] 取 \(M=|A|+1\) 即得。\(\square\)

这只是局部有界，不声称函数在整个定义域上有界。

引理：非零有限极限推出最终保号¶

若 \(f(x)\to A\) 且 \(A>0\)，则充分靠近 \(a\) 时 \(f(x)>0\)；若 \(A<0\)，则 充分靠近 \(a\) 时 \(f(x)<0\)。

证明。 当 \(A>0\) 时，取误差 \(A/2\)。充分靠近时 [ f(x)>A-\frac A2=\frac A2>0. ] 当 \(A<0\) 时，取误差 \(|A|/2\)。充分靠近时 [ f(x)<A+\frac{|A|}{2}=\frac A2<0. ] 两种情形都由同一个有限极限定义得到。\(\square\)

定理：局部序关系传到极限¶

设 \(f,g:D\to\mathbb R\)，\(a\) 是共同定义域 \(D\) 的聚点。若存在 \(\delta_0>0\)，使 [ x\in D,\quad 0<|x-a|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)\le g(x), ] 且 [ f(x)\to A,\qquad g(x)\to B, ] 则 \(A\le B\)。

证明。 反设 \(A>B\)，取 \(\varepsilon=(A-B)/3>0\)。由两个极限分别取得 \(\delta_f,\delta_g>0\)，使相应误差小于 \(\varepsilon\)。令 [ \delta=\min{\delta_0,\delta_f,\delta_g}>0. ] 由聚点条件选取 \(x\in D\) 使 \(0<|x-a|<\delta\)。于是 [ f(x)>A-\varepsilon,\qquad g(x)0, ] 所以 \(f(x)>g(x)\)，与局部假设矛盾。故 \(A\le B\)。\(\square\)

定理：夹逼定理¶

设 \(p,h,q:D\to\mathbb R\)，\(a\) 是共同定义域 \(D\) 的聚点。若在某个 定义域去心邻域内 [ p(x)\le h(x)\le q(x), ] 且 \(p(x)\to L\)、\(q(x)\to L\)，则 \(h(x)\to L\)。

证明。 给定 \(\varepsilon>0\)。由两端极限分别取得 \(\delta_p,\delta_q>0\)，再与局部序关系成立的半径 \(\delta_0\) 一起取 [ \delta=\min{\delta_0,\delta_p,\delta_q}. ] 若 \(0<|x-a|<\delta\)，则 [ L-\varepsilon<p(x)\le h(x)\le q(x)<L+\varepsilon. ] 所以 \(|h(x)-L|<\varepsilon\)，结论成立。\(\square\)

定理：和与积的极限法则¶

设 \(f,g:D\to\mathbb R\)， [ f(x)\to A,\qquad g(x)\to B. ] 则 [ f(x)+g(x)\to A+B,\qquad f(x)g(x)\to AB. ]

和法则证明。 给定 \(\varepsilon>0\)，分别用误差 \(\varepsilon/2\) 取得两个 半径，并取其最小值。于是 [ |(f+g)-(A+B)| \le |f-A|+|g-B| <\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon. ]

积法则证明。 由局部有界引理，存在一个去心邻域使 \(|g(x)|\le M\)，可取 \(M=|B|+1>0\)。给定 \(\varepsilon>0\)，再把邻域缩小， 使 [ |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2M},\qquad |g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. ] 在所有条件共同成立的去心邻域内， [ \begin{aligned} |f(x)g(x)-AB| &\le |f(x)-A|\,|g(x)|+|A|\,|g(x)-B|\ &<\frac{\varepsilon}{2M}M +\frac{|A|}{|A|+1}\frac{\varepsilon}{2}\ &<\varepsilon. \end{aligned} ] 故乘积极限成立。\(\square\)

常数倍与差法则分别由乘积法则和和法则得到。

定理：商的极限法则¶

在上一定理的条件下，若 \(B\ne0\)，则充分靠近 \(a\) 时 \(g(x)\ne0\)，并且 [ \frac{f(x)}{g(x)}\longrightarrow\frac AB. ]

证明。 由 \(g(x)\to B\)，取误差 \(|B|/2\)。充分靠近时 [ |g(x)|\ge |B|-|g(x)-B|>\frac{|B|}{2}, ] 因而也有 [ |g(x)|\ge\frac{|B|}{2}. ] 特别地 \(g(x)\ne0\)。在这个去心邻域内， [ \left|\frac1{g(x)}-\frac1B\right| =\frac{|g(x)-B|}{|g(x)|\,|B|} \le\frac{2}{|B|^2}|g(x)-B|. ] 给定 \(\varepsilon>0\)，再令 \(|g(x)-B|<\varepsilon|B|^2/2\)，便得到 \(1/g(x)\to1/B\)。最后应用积法则于 \(f(x)\) 与 \(1/g(x)\)，即得 [ \frac{f(x)}{g(x)}\to A\cdot\frac1B=\frac AB. ] \(\square\)

当 \(B=0\) 时，这一定理没有结论；形如 \(0/0\) 的符号只是未定式标签，不能当作 普通数进行约分或相除。

定理：带定义域条件的复合极限¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)、\(g:E\to\mathbb R\)，\(a\) 是 \(D\) 的聚点， \(B\) 是 \(E\) 的聚点，并且 [ f(x)\to B,\qquad \lim_{\substack{y\to B\y\in E}}g(y)=C. ] 若存在 \(\delta_0>0\)，使每个 \(x\in D\cap N_{\delta_0}^*(a)\) 都满足 [ f(x)\in E\setminus{B}, ] 则 [ g(f(x))\to C\qquad(x\to a,\ x\in D). ]

证明。 给定 \(\varepsilon>0\)。由 \(g\) 在 \(B\) 的极限，存在 \(\eta>0\)，使 [ y\in E,\quad 0<|y-B|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |g(y)-C|<\varepsilon. ] 由 \(f(x)\to B\)，存在 \(\delta_1>0\)，使 \(0<|x-a|<\delta_1\) 时 \(|f(x)-B|<\eta\)。取 \(\delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}\)。对任意允许的 \(x\)，域条件给出 \(f(x)\in E\setminus\{B\}\)，故 [ 0<|f(x)-B|<\eta, ] 从而 \(|g(f(x))-C|<\varepsilon\)。\(\square\)

另一版本可把局部域条件改为 \(f(x)\in E\)，从而允许 \(f(x)=B\)，但必须另加 \(B\in E\) 且 \(g(B)=C\)。此时 \(f(x)=B\) 的点直接给出 \(g(f(x))=C\)，其余点沿用上面的证明。

例题与迁移¶

例题 1：夹住振荡因子¶

证明 [ \lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0. ]

证明。 对 \(x\ne0\)，由 \(-1\le\sin(1/x)\le1\) 得 [ -|x|\le x\sin\frac1x\le |x|. ] 又对给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)，即可直接证明 \(|x|\to0\) 与 \(-|x|\to0\)。两端极限相同，故由夹逼定理，中间函数趋于 \(0\)。振荡因子本身不需要有极限。\(\square\)

例题 2：商法则先核对分母¶

求 [ \lim_{x\to1}\frac{x^2+1}{2x-1}. ]

解。 由基本极限与和、积法则， [ x^2+1\to2,\qquad 2x-1\to1. ] 分母极限 \(1\ne0\)，所以它在充分小的去心邻域内非零。商法则给出 [ \lim_{x\to1}\frac{x^2+1}{2x-1}=\frac21=2. ] 这里“分母最终非零”是结论成立的域证书，不能省略。

即时检验与回望¶

即时检验 1：乘积证明为什么先要局部有界？¶

指出估计 [ |fg-AB|\le |f-A|\,|g|+|A|\,|g-B| ] 中哪一项迫使我们先界住 \(g\)。

即时检验 2：商法则的非零条件用在哪里？¶

若 \(g(x)\to B\ne0\)，怎样推出分母在某个去心邻域内不为零？

习题与答案¶

习题 1：从极限得到一个具体局部界¶

已知 \(f(x)\to-3\)（\(x\to a\)）。证明充分靠近 \(a\) 时 \(|f(x)|<4\)。

习题 2：局部保序¶

设充分靠近 \(a\) 时 \(f(x)\le7\)，且 \(f(x)\to A\)。证明 \(A\le7\)。

习题 3：平方因子压住振荡¶

证明 [ \lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x=0. ]

习题 4：有理式极限与域检查¶

求 [ \lim_{x\to2}\frac{3x-1}{x+4}, ] 并给出一个显式邻域，保证分母不为零。

习题 5：复合法则为何需要命中条件？¶

令 \(D=E=\mathbb R\)、\(a=0\)。在 \(D\) 上定义 \(f(x)\equiv0\)，并在 \(E\) 上定义 [ g(y)= \begin{cases} y,&y\ne0,\ 1,&y=0. \end{cases} ] 验证 [ \lim_{\substack{x\to0\x\in D}}f(x)=0,\qquad \lim_{\substack{y\to0\y\in E}}g(y)=0, ] 但 [ \lim_{\substack{x\to0\x\in D}}g(f(x))=1\ne0, ] 并指出复合法则的哪一个条件失败。

常见误区与后续¶

• 误区 1： 直接“代入极限”。合法运算来自共同去心邻域中的误差估计。
• 误区 2： 用全局有界替代局部有界。证明只需、也只能从有限极限推出局部结论。
• 误区 3： 忽略商与复合的定义域。表达式先要有定义，才能讨论它的极限。
• 误区 4： 把未定式当作一个数值。它只提示现有法则不足，不能参与普通代数。

下一单元将用点列重新刻画有限点处的有限极限；邻域定义仍是主语言，点列是等价判别 与构造反例的工具。