Green 公式怎样控制面积、环流、通量与路径无关？¶

先备知识¶

掌握 Green 公式两种形式、势函数、闭路与单连通区域。

学习目标¶

能在检查正则性和取向后选择面积、环流、通量或路径无关结论。

牵引问题¶

同一条边界积分为何既能测面积，也能判断一个局部无旋场是否真的有势函数？

探索与猜想¶

选择 \(Q_x-P_y=1\) 可读面积；若旋度为零，则每条可围成域的闭路环流为零，但洞可能阻止围成域。

概念与理论¶

面积公式¶

取 \(P=-y/2,Q=x/2\)，得

\[ \operatorname{area}(D)=\frac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx). \]

也可取 \(P=0,Q=x\)。公式使用前仍须检查分片光滑边界和正向。

路径无关判据¶

设 \(D\) 是开、路径连通且单连通的区域，\(P,Q\in C^1(D)\)。固定 \(x_0\in D\)，并要求存在每点可选的本章允许类基点路径：对每个 \(x\in D\)，都可选一条从 \(x_0\) 到 \(x\) 的这种路径；允许类对追加坐标短线段闭合，而且任意两条这样的基点路径拼接后仍属于下述允许闭路类。若 \(\operatorname{curl}F=Q_x-P_y=0\)，则对本章下述允许闭路，环流为零：闭路由 有限条 C1 弧组成，仅有有限个交点，并且可经有限切分分解为 有限个分片光滑 Jordan 闭路；每个 Jordan 环围成的闭域包含于 \(D\)，并且该闭域可有限分片为满足 39.2 条件的简单区域（也就是 39.3 已证可拼接的区域类）。

证明时先对上述有限分片逐片拼接，再逐个简单环应用 Green 公式；若闭路分解引入公共弧，该弧在相邻简单环上的方向相反，所以重边抵消。有限求和后，每个简单环的积分均因 curl 为零而为零，原允许闭路的积分也为零。对两条同端点允许路径 \(\gamma_1,\gamma_2\)，再要求拼接闭路 \(\gamma_1*(-\gamma_2)\) 属于上述有限分解类；其积分为 \(\int_{\gamma_1}F\cdot dr-\int_{\gamma_2}F\cdot dr=0\)，故路径积分相等。定义

\[ \phi(x)=\int_{x_0}^{x}F\cdot dr, \]

其中积分沿任一本章允许类基点路径；上述拼接论证保证定义与路径无关。因为 \(D\) 是开集，对每个 \(x\in D\)，存在小邻域使坐标短线段从 \(x\) 到 \(x+he_i\) 留在 \(D\) 内。允许类对追加短线段闭合，路径无关便把 \(\phi(x+he_i)-\phi(x)\) 化为该短线段积分。于是

\[ \frac{\phi(x+he_1)-\phi(x)}{h} =\frac1h\int_0^h P(x+te_1)\,dt\longrightarrow P(x), \]

\[ \frac{\phi(x+he_2)-\phi(x)}{h} =\frac1h\int_0^h Q(x+te_2)\,dt\longrightarrow Q(x), \]

其中极限由 \(P,Q\) 连续性得到。因此 \(\partial_1\phi=P\)、\(\partial_2\phi=Q\)，即 \(\nabla\phi=F\)，势函数构造闭合。

这里“每条分片光滑闭路”只指上述允许类。一般具有无限自交的分片光滑路径不在本章已证范围。更一般地，不要求单连通而直接假设允许类中每条分片光滑闭路积分为零，也足以得到同样结论。

环流、通量与不可压缩¶

切向形式把总环流化为旋度积分；法向形式把净通量化为散度积分。二维速度场若 \(P_x+Q_y=0\)，称为不可压缩：每个合适子区域的净外通量为零。

取向检查¶

面积公式和环流都用外边界逆时针、洞边界顺时针；法向通量使用对应正外法向。

例题与迁移¶

例 1：椭圆面积¶

参数化 \(x=a\cos t,y=b\sin t,0\le t\le2\pi\) 是逆时针。面积公式给 \(\frac12\int_0^{2\pi}ab(\cos^2t+\sin^2t)\,dt=\pi ab\)。

例 2：穿孔域上的反例¶

在穿孔域 \(D=\mathbb R^2\setminus\{0\}\) 上取 \(F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))\)。直接求导得 curl 为零；奇点原点不在域内，所以场在 \(D\) 上 \(C^1\)。但单位圆逆时针环流为 \(\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\ne0\)。因此 curl-free 在穿孔域不能保证势函数；不能把含奇点的圆盘直接用于 Green 公式。

例 3：不可压缩剪切流¶

\(F=(y,0)\) 的散度为零，所以任意满足定理条件的区域净外通量为零；其旋度为 \(-1\)，故逆时针环流等于负面积。两个结论不可混淆。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

零旋度为何在穿孔域不够？

答案

绕洞闭路未必是域内某区域的完整边界，可能有非零环流。

即时检验 2¶

不可压缩是否意味着无旋？

答案

不；散度与旋度是不同偏导组合，例如 \(F=(y,0)\)。

常见误区与后续¶

面积公式不是对任意方向都给正数；反向会变号。
局部 curl-free 不自动跨越拓扑障碍。
本章不借助 Gauss、Stokes 或微分形式；后两公式留待后续章。

习题与答案¶

习题 1¶

用 \(P=0,Q=x\) 写面积公式。

答案

\(\operatorname{area}(D)=\oint_{\partial D}x\,dy\)。

习题 2¶

顺时针参数化椭圆会得到什么？

答案

面积公式右侧为 \(-\pi ab\)，需纠正方向。

习题 3¶

零旋度在单连通域推出什么？

答案

对本章允许的闭路，积分为零；对拼接仍属允许类的两条路径，积分路径无关并存在势函数。

习题 4¶

穿孔反例的奇点在哪里？

答案

原点，且原点不在域内。

习题 5¶

穿孔反例沿单位圆环流是多少？

答案

\(2\pi\)。

习题 6¶

为什么不能对整圆盘套公式？

答案

场在圆盘内的原点不 \(C^1\)。

习题 7¶

不可压缩的偏导条件是什么？

答案

\(P_x+Q_y=0\)。

习题 8¶

零散度给每个合适区域什么结论？

答案

净外通量为零。

习题 9¶

环流由哪个密度控制？

答案

标量旋度 \(Q_x-P_y\)。

习题 10¶

通量由哪个密度控制？

答案

散度 \(P_x+Q_y\)。

习题 11¶

不假设单连通时，什么全局条件仍保证势函数？

答案

本章允许类中的每条闭路积分都为零；路径拼接仍须属于该允许类。