Fatou 引理怎样给出下极限不等式？¶

先备知识¶

会处理可测函数的可数下确界、下极限与 MCT。

学习目标¶

把任意非负序列变成递增尾部下确界序列，得到积分下半连续性。

牵引问题¶

原序列不单调，怎样仍从 MCT 提取可靠的不等式？

探索与猜想¶

丢掉前 n−1 项后取尾部最小高度；随着 n 增大，这个保守高度只能上升。

概念与理论¶

尾部下确界¶

对非负可测 f_n 定义 \(h_n=\inf_{k\ge n}f_k\)。则 h_n 可测且 0≤h_n↑liminf f_n。MCT 给出

\[ \int\liminf_{n\to\infty}f_n\,dm=\lim_n\int h_n\,dm. \]

又因 h_n≤f_k 对每个 k≥n，故 ∫h_n≤inf_{k≥n}∫f_k。令 n→∞，得到 Fatou 引理

\[ \int\liminf f_n\,dm\le\liminf\int f_n\,dm. \]

假设与方向¶

非负性为尾部下界提供统一的 0。结论通常只是“≤”；尖峰移动会造成严格不等式。

例题与迁移¶

例 1：移动尖峰¶

每项积分相同而逐点下极限为零时，Fatou 左边为零、右边为正。

例 2：单调列¶

若原列递增，h_n=f_n，Fatou 与 MCT 相容但只保留下界方向。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

h_n 为什么递增？

答案

尾部集合缩小，取下确界只能增大。

即时检验 2¶

Fatou 为什么不是等式？

答案

质量可能随 n 移动，逐点极限看不到每一期全部质量。

常见误区与后续¶

不把 liminf 与普通极限混同。
反向估计需要额外控制，下一节处理。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 h_n。

答案

\(h_n=\inf_{k\ge n}f_k\)。

习题 2¶

h_n 可测吗？

答案

可测，可数下确界保持可测。

习题 3¶

h_n 的极限是什么？

答案

\(\liminf f_n\)。

习题 4¶

哪里使用 MCT？

答案

交换 h_n 递增极限与积分。

习题 5¶

比较 h_n 与 f_k。

答案

对 k≥n 有 h_n≤f_k。

习题 6¶

积分不等式方向是什么？

答案

极限函数积分不大于积分的下极限。

习题 7¶

允许无穷值吗？

答案

允许。

习题 8¶

是否要求 f_n 收敛？

答案

不要求。

习题 9¶

非负性做什么？

答案

给出共同可积意义下界 0。

习题 10¶

下一节怎样得到反向控制？

答案

对控制函数减去 f_n 后应用 Fatou。