导数怎样还原函数的增减、极值与弯曲形态？¶

先备知识¶

第 15.2 单元已经证明 Fermat 必要条件和导数符号判别单调性的定理：在一个区间内， \(f'>0\) 推出严格递增，\(f'<0\) 推出严格递减。本页直接使用这些结论，不重复建立同一个证明。

你还需要会解简单的导数方程、制作符号表，并理解第 16 章的二阶 Taylor 展开。本页把这些工具组织成“候选点—符号区间—局部判别—整体比较—凹凸变化”的完整流程。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

从定义域中列全端点、驻点和不可导点；
用一阶导数变号严格判定局部极值；
用二阶 Taylor 展开证明二阶导数判别；
区分局部极值、整体极值和闭区间端点比较；
由 \(f'\) 的单调性或 \(f''\) 的符号判断凹凸区间与拐点。

牵引问题¶

解出 \(f'(x)=0\) 只是找到了一批候选点。它既不会自动告诉我们候选点是不是极值，也可能漏掉不可导点和定义域边界。怎样把一串局部导数信息还原成一幅有证明支撑的整体图景？

探索与猜想¶

比较三个函数在原点附近的表现：

\[ f(x)=x^3,\qquad g(x)=x^4,\qquad h(x)=|x|. \]

三者都在 \(0\) 附近有特殊形态，但原因不同：

\(f'(0)=f''(0)=0\)，原点不是极值点，却是凹凸性改变的点；
\(g'(0)=g''(0)=0\)，原点是严格极小点，却不是拐点；
\(h\) 在原点不可导，但原点仍是严格极小点。

因此，单独检查 \(f'(x)=0\) 或 \(f''(x)=0\) 都不够。完整分析必须先尊重定义域，再分区间读取导数符号。

概念与理论¶

候选点清单¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)。若 \(x_0\) 是 \(D\) 的内点且 \(f'(x_0)=0\)，称 \(x_0\) 为驻点。驻点只是极值候选点，不是极值的同义词。

分析闭区间或分段定义域时，候选清单至少包括：

定义域的端点；
定义域内部的驻点；
函数有定义但导数不存在的内点；
定义域被断开、开口或趋向无穷时需要单独考察的边界行为。

这就是“端点、驻点和不可导点”三类最常用的有限候选，再加上定义域边界的极限信息。局部极值不自动是整体极值；整体极值必须同所有候选值和边界行为比较。

一阶导数变号判别¶

定理。 设 \(x_0\) 是区间 \(I\) 的内点，\(f\) 在 \(x_0\) 连续，并在 \(x_0\) 两侧的某个去心邻域内可导。

若 \(f'\) 在 \(x_0\) 左侧为正、右侧为负，则 \(x_0\) 是严格局部极大点；
若 \(f'\) 在左侧为负、右侧为正，则 \(x_0\) 是严格局部极小点；
若 \(f'\) 在两侧同号，则 \(x_0\) 不是局部极值点。

证明。 只证第一种情形。取足够小的 \(\delta>0\)。在 \((x_0-\delta,x_0)\) 上 \(f'>0\)，由第 15.2 单元的单调性定理，\(f\) 在这一段严格递增，所以 \(x<x_0\) 时 \(f(x)<f(x_0)\)。在 \((x_0,x_0+\delta)\) 上 \(f'<0\)，函数严格递减，所以 \(x>x_0\) 时仍有 \(f(x)<f(x_0)\)。故 \(x_0\) 是严格局部极大点。

第二种情形交换不等号即可。若两侧同为正，函数穿过 \(x_0\) 继续递增；若两侧同为负，函数继续递减。两种情况下任意小邻域内都同时出现比 \(f(x_0)\) 大和小的函数值，所以不是局部极值点。证毕。

该定理的核心是“变号”，不是“导数等于零”。它也适用于某些 \(x_0\) 处不可导但函数连续的情形，例如 \(|x|\)。

二阶导数判别¶

定理。 若 \(f\) 在 \(x_0\) 二阶可导，\(f'(x_0)=0\)，则：

\(f''(x_0)>0\) 时，\(x_0\) 是严格局部极小点；
\(f''(x_0)<0\) 时，\(x_0\) 是严格局部极大点。

证明。 第 16 章的 Peano 展开给出

\[ f(x_0+h)-f(x_0) =\frac12 f''(x_0)h^2+o(h^2) =h^2\left(\frac12f''(x_0)+o(1)\right). \]

若 \(f''(x_0)>0\)，当 \(h\ne0\) 且充分小时，括号内保持为正，而 \(h^2>0\)，故 \(f(x_0+h)>f(x_0)\)。这证明严格局部极小。负号情形同理。

若 \(f''(x_0)=0\)，展开中的首个非零项尚未显现，判别没有结论。此时必须回到一阶变号、高阶项或定义本身。

凹凸性与拐点¶

本章采用下面的统一术语：

若 \(f'\) 在区间上单调不减，称 \(f\) 在该区间上为凸函数；图像位于弦线下方，也常称“下凸”；
若 \(f'\) 单调不增，称 \(f\) 为凹函数；图像位于弦线上方，也常称“上凸”。

第 17.2 单元将从弦不等式出发证明这一导数判据。当前若 \(f\) 二阶可导，可以先用：

\[ f''\ge0\Longrightarrow f'\text{ 单调不减}\Longrightarrow f\text{ 凸}, \]

\[ f''\le0\Longrightarrow f'\text{ 单调不增}\Longrightarrow f\text{ 凹}. \]

设 \(x_0\) 是定义域内点且 \(f\) 在 \(x_0\) 连续。若函数在 \(x_0\) 左右两侧由凸变凹或由凹变凸，即凹凸性发生改变，则称 \((x_0,f(x_0))\) 为图像的拐点。

所以 \(f''(x_0)=0\) 既不是拐点的定义，也不是充分条件；有些拐点处二阶导数甚至不存在。若二阶导数在两侧变号，它是常用的充分判据。

完整形态分析流程¶

对一元函数，按下列顺序工作：

写清定义域和边界；
求 \(f'\)，列出驻点与不可导点；
对被候选点切开的每个区间制作 \(f'\) 符号表；
判定单调区间和局部极值；
若问整体极值，比较端点、内部候选值和边界极限；
求 \(f''\) 或分析 \(f'\) 的单调性，得到凹凸区间；
只有确认凹凸性改变后才报告拐点。

例题与迁移¶

例 1：三次函数的完整形态¶

分析

\[ f(x)=x^3-3x,\qquad x\in\mathbb R. \]

有

\[ f'(x)=3(x-1)(x+1),\qquad f''(x)=6x. \]

一阶符号表为：

区间	\((-\infty,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,\infty)\)
\(f'\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(f\)	递增	递减	递增

所以 \(x=-1\) 是严格局部极大点，\(f(-1)=2\)；\(x=1\) 是严格局部极小点， \(f(1)=-2\)。但函数在两端分别趋于负无穷和正无穷，因此这两个局部极值都不是 \(\mathbb R\) 上的整体极值。

又因为 \(f''<0\) 于 \((-\infty,0)\)，\(f''>0\) 于 \((0,\infty)\)，函数先凹后凸， \((0,0)\) 是拐点。

例 2：二阶导数为零为何仍不够？¶

比较

\[ f(x)=x^3,\qquad g(x)=x^4. \]

二者都满足一、二阶导数在 \(0\) 为零。可是

\[ f''(x)=6x \]

在原点两侧变号，所以 \(x^3\) 在原点有拐点；而

\[ g''(x)=12x^2\ge0 \]

在原点两侧都保持凸，原点不是拐点。另一方面 \(g'(x)=4x^3\) 从负变正，因此原点是 \(x^4\) 的严格整体极小点。

这个比较同时否定了两种错误说法：“\(f''=0\) 必有拐点”和“二阶判别无结论就没有极值”。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

求 \(f(x)=x^2\) 在闭区间 \([-1,2]\) 上的整体最大值和最小值。为什么不能只检查 \(f'(x)=0\)？

答案

\(f'(x)=2x\)，内部驻点为 \(0\)。还必须检查端点 \(-1,2\)：

\[ f(-1)=1,\qquad f(0)=0,\qquad f(2)=4. \]

所以整体最小值为 \(0\)，在 \(x=0\) 取得；整体最大值为 \(4\)，在端点 \(x=2\) 取得。只检查驻点会漏掉整体最大值。

即时检验 2¶

\(f(x)=|x|\) 在原点不可导。原点能否是局部极值点？一阶变号思想是否仍可使用？

答案

能。对 \(x<0\)，函数斜率为 \(-1\)；对 \(x>0\)，斜率为 \(1\)。函数先减后增，所以 \(0\) 是严格局部极小点，也是整体极小点。定理的证明只需要两侧单调性和原点连续，并不要求原点本身可导。

回望：导数把定义域分成单调片段，极值来自片段怎样拼接；二阶导数描述导数自身怎样变化，拐点来自凹凸片段怎样拼接。

习题与答案¶

习题 1：四次函数的形态¶

分析 \(f(x)=x^4-4x^2\) 的单调区间、局部极值、整体极值和拐点。

答案

\[ f'(x)=4x(x^2-2),\qquad f''(x)=12x^2-8. \]

驻点为 \(-\sqrt2,0,\sqrt2\)。一阶符号依次为 \(-,+,-,+\)，所以 \(\pm\sqrt2\) 是严格局部极小点，函数值均为 \(-4\)； \(0\) 是严格局部极大点，函数值为 \(0\)。因 \(f(x)\to+\infty\)，两个极小点也是整体极小点，函数没有整体最大值。

\(f''=0\) 于 \(x=\pm\sqrt{2/3}\)，且二阶导数在两点均变号，所以对应图像点是拐点。函数在两点外侧凸，在两点之间凹。

习题 2：不可导点与端点¶

求 \(f(x)=|x-1|\) 在 \([-1,3]\) 上的局部与整体极值。

答案

函数在 \(x=1\) 不可导，左侧斜率为 \(-1\)，右侧斜率为 \(1\)，所以 \(x=1\) 是严格局部极小点，函数值为 \(0\)，也是整体最小值。

端点值 \(f(-1)=f(3)=2\)，两者都是整体最大值。若采用相对于定义域的局部邻域，两端点也分别是单侧局部极大点。该题说明不可导点和端点都不能从候选清单中删除。

习题 3：否定错误的拐点判据¶

给出一个满足 \(f''(0)=0\) 但原点不是拐点的函数，并说明理由。

答案

取 \(f(x)=x^4\)。有 \(f''(x)=12x^2\ge0\)，特别地 \(f''(0)=0\)。函数在原点两侧都为凸函数，凹凸性没有改变，所以原点不是拐点。

习题 4：二阶判别失效后的处理¶

对 \(f(x)=x^6\)，二阶导数判别在原点给出什么？怎样得出正确极值结论？

答案

\(f'(0)=f''(0)=0\)，所以二阶导数判别没有结论。但 \(x^6\ge0=f(0)\) 对所有实数成立，因此原点是严格整体极小点。也可观察 \(f'(x)=6x^5\) 在原点由负变正，使用一阶变号判别。

习题 5：定义域边界与无整体极值¶

分析 \(f(x)=x+1/x\) 在 \((0,\infty)\) 上的单调性、极值与凹凸性。

答案

\[ f'(x)=1-\frac1{x^2},\qquad f''(x)=\frac2{x^3}>0. \]

在 \((0,1)\) 上 \(f'<0\)，在 \((1,\infty)\) 上 \(f'>0\)，所以 \(x=1\) 是严格局部极小点。又由

\[ x+\frac1x\ge2 \]

或两端边界极限均为 \(+\infty\)，可知它也是唯一整体极小点，最小值为 \(2\)。函数在整个定义域上严格凸，没有拐点，也没有整体最大值。

常见误区与后续¶

只解 \(f'=0\)： 这会漏掉端点、不可导点和定义域边界。
把驻点当成极值： \(x^3\) 的原点是驻点却不是极值点。
把局部极值当成整体极值： 必须比较所有候选值和边界行为。
见到 \(f''=0\) 就报拐点： 必须验证凹凸性确实改变。
图像看起来如此就当作证明： 数值图像可以帮助猜想，不能替代符号表和定理条件。

下一单元从弦不等式正式定义凸性，并证明“导数单调不减”与凸性的等价关系。届时，本页的凹凸判读会升级为全局优化工具。